Theorem mnfle 8943

Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
mnfle	|- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Proof of Theorem mnfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nltmnf 8939	. 2 |- ( A e. RR* -> -. A < -oo )
2		mnfxr 7237	. . 3 |- -oo e. RR*
3		xrlenlt 7244	. . 3 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
4	2, 3	mpan 415	. 2 |- ( A e. RR* -> ( -oo <_ A <-> -. A < -oo ) )
5	1, 4	mpbird 165	1 |- ( A e. RR* -> -oo <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3793   -oocmnf 7213   RR*cxr 7214   < clt 7215   <_ cle 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221

This theorem is referenced by:  xrre2  8964  elioc2  9035  iccmax  9048