Theorem mnfnre 7223

Description: Minus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
mnfnre	|- -oo e/ RR

Proof of Theorem mnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7159	. . . . 5 |- CC e. _V
2		2pwuninelg 5932	. . . . 5 |- ( CC e. _V -> -. ~P ~P U. CC e. CC )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- -. ~P ~P U. CC e. CC
4		df-mnf 7218	. . . . . 6 |- -oo = ~P +oo
5		df-pnf 7217	. . . . . . 7 |- +oo = ~P U. CC
6	5	pweqi 3394	. . . . . 6 |- ~P +oo = ~P ~P U. CC
7	4, 6	eqtri 2102	. . . . 5 |- -oo = ~P ~P U. CC
8	7	eleq1i 2145	. . . 4 |- ( -oo e. CC <-> ~P ~P U. CC e. CC )
9	3, 8	mtbir 629	. . 3 |- -. -oo e. CC
10		recn 7168	. . 3 |- ( -oo e. RR -> -oo e. CC )
11	9, 10	mto 621	. 2 |- -. -oo e. RR
12	11	nelir 2343	1 |- -oo e/ RR

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1434   e/ wnel 2340   _Vcvv 2602   ~Pcpw 3390   U.cuni 3609   CCcc 7041   RRcr 7042   +oocpnf 7212   -oocmnf 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-nel 2341  df-ral 2354  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-pnf 7217  df-mnf 7218

This theorem is referenced by:  renemnf  7229  xrltnr  8931  nltmnf  8939