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Theorem mo2n 1971
Description: There is at most one of something which does not exist. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
mon.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
mo2n  |-  ( -. 
E. x ph  ->  E. y A. x (
ph  ->  x  =  y ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem mo2n
StepHypRef Expression
1 mon.1 . . 3  |-  F/ y
ph
21sb8e 1780 . 2  |-  ( E. x ph  <->  E. y [ y  /  x ] ph )
3 alnex 1429 . . 3  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  <->  -.  E. y [ y  /  x ] ph )
4 nfs1v 1858 . . . . . 6  |-  F/ x [ y  /  x ] ph
54nfn 1589 . . . . 5  |-  F/ x  -.  [ y  /  x ] ph
61nfn 1589 . . . . 5  |-  F/ y  -.  ph
7 sbequ1 1693 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
87equcoms 1636 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( ph  ->  [ y  /  x ] ph ) )
98con3d 594 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( -.  [ y  /  x ] ph  ->  -.  ph )
)
105, 6, 9cbv3 1672 . . . 4  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  ->  A. x  -.  ph )
11 pm2.21 580 . . . . 5  |-  ( -. 
ph  ->  ( ph  ->  x  =  y ) )
1211alimi 1385 . . . 4  |-  ( A. x  -.  ph  ->  A. x
( ph  ->  x  =  y ) )
13 19.8a 1523 . . . 4  |-  ( A. x ( ph  ->  x  =  y )  ->  E. y A. x (
ph  ->  x  =  y ) )
1410, 12, 133syl 17 . . 3  |-  ( A. y  -.  [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x ( ph  ->  x  =  y ) )
153, 14sylbir 133 . 2  |-  ( -. 
E. y [ y  /  x ] ph  ->  E. y A. x
( ph  ->  x  =  y ) )
162, 15sylnbi 636 1  |-  ( -. 
E. x ph  ->  E. y A. x (
ph  ->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1283   F/wnf 1390   E.wex 1422   [wsb 1687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-11 1438  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688
This theorem is referenced by:  modc  1986
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