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Theorem modaddmodup 9539
Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer minus the positive integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the upper part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmodup  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  ->  (
( B  +  ( A  mod  M ) )  -  M )  =  ( ( B  +  A )  mod 
M ) ) )

Proof of Theorem modaddmodup
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9304 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  ->  B  e.  ZZ )
21adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  B  e.  ZZ )
3 zmodcl 9496 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  mod  M
)  e.  NN0 )
43adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( A  mod  M
)  e.  NN0 )
54nn0zd 8618 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( A  mod  M
)  e.  ZZ )
62, 5zaddcld 8624 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( B  +  ( A  mod  M ) )  e.  ZZ )
7 zq 8862 . . . . 5  |-  ( ( B  +  ( A  mod  M ) )  e.  ZZ  ->  ( B  +  ( A  mod  M ) )  e.  QQ )
86, 7syl 14 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( B  +  ( A  mod  M ) )  e.  QQ )
9 simprr 499 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  M  e.  NN )
10 nnq 8869 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  QQ )
119, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  M  e.  QQ )
129nngt0d 8219 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
0  <  M )
13 elfzole1 9311 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  ->  ( M  -  ( A  mod  M ) )  <_  B )
1413adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( M  -  ( A  mod  M ) )  <_  B )
159nnred 8189 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  M  e.  RR )
163nn0red 8479 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  mod  M
)  e.  RR )
1716adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( A  mod  M
)  e.  RR )
181zred 8620 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  ->  B  e.  RR )
1918adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  B  e.  RR )
2015, 17, 19lesubaddd 7779 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( ( M  -  ( A  mod  M ) )  <_  B  <->  M  <_  ( B  +  ( A  mod  M ) ) ) )
2114, 20mpbid 145 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  M  <_  ( B  +  ( A  mod  M ) ) )
22 elfzolt2 9312 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  ->  B  <  M
)
2322adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  B  <  M )
24 zq 8862 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
2524ad2antrl 474 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  A  e.  QQ )
26 modqlt 9485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  ->  ( A  mod  M )  < 
M )
2725, 11, 12, 26syl3anc 1170 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( A  mod  M
)  <  M )
2819, 17, 15, 15, 23, 27lt2addd 7804 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( B  +  ( A  mod  M ) )  <  ( M  +  M ) )
299nncnd 8190 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  M  e.  CC )
30292timesd 8410 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( 2  x.  M
)  =  ( M  +  M ) )
3128, 30breqtrrd 3831 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( B  +  ( A  mod  M ) )  <  ( 2  x.  M ) )
32 q2submod 9537 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  +  ( A  mod  M ) )  e.  QQ  /\  M  e.  QQ  /\  0  <  M )  /\  ( M  <_  ( B  +  ( A  mod  M ) )  /\  ( B  +  ( A  mod  M ) )  <  (
2  x.  M ) ) )  ->  (
( B  +  ( A  mod  M ) )  mod  M )  =  ( ( B  +  ( A  mod  M ) )  -  M
) )
338, 11, 12, 21, 31, 32syl32anc 1178 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( ( B  +  ( A  mod  M ) )  mod  M )  =  ( ( B  +  ( A  mod  M ) )  -  M
) )
34 zq 8862 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
352, 34syl 14 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  ->  B  e.  QQ )
36 modqadd2mod 9526 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( M  e.  QQ  /\  0  < 
M ) )  -> 
( ( B  +  ( A  mod  M ) )  mod  M )  =  ( ( B  +  A )  mod 
M ) )
3725, 35, 11, 12, 36syl22anc 1171 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( ( B  +  ( A  mod  M ) )  mod  M )  =  ( ( B  +  A )  mod 
M ) )
3833, 37eqtr3d 2117 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN ) )  -> 
( ( B  +  ( A  mod  M ) )  -  M )  =  ( ( B  +  A )  mod 
M ) )
3938expcom 114 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  M  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( ( M  -  ( A  mod  M ) )..^ M )  ->  (
( B  +  ( A  mod  M ) )  -  M )  =  ( ( B  +  A )  mod 
M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5564   RRcr 7112   0cc0 7113    + caddc 7116    x. cmul 7118    < clt 7285    <_ cle 7286    - cmin 7416   NNcn 8176   2c2 8226   NN0cn0 8425   ZZcz 8502   QQcq 8855  ..^cfzo 9299    mod cmo 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-fzo 9300  df-fl 9422  df-mod 9475
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