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Theorem modfzo0difsn 9345
Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modfzo0difsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) )
Distinct variable groups:    i, J    i, K    i, N

Proof of Theorem modfzo0difsn
StepHypRef Expression
1 eldifi 3094 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  ( 0..^ N ) )
2 elfzoelz 9106 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  ZZ )
4 elfzoelz 9106 . . 3  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  ZZ )
5 zdcle 8375 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  -> DECID  K  <_  J )
6 exmiddc 755 . . . 4  |-  (DECID  K  <_  J  ->  ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J ) )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J
) )
83, 4, 7syl2anr 278 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J
) )
9 zleloe 8349 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  J  <->  ( K  <  J  \/  K  =  J )
) )
103, 4, 9syl2anr 278 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  <->  ( K  <  J  \/  K  =  J )
) )
11 elfzo0 9140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) )
12 elfzo0 9140 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
13 nn0cn 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  CC )
1413adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  CC )
1514adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  K  e.  CC )
16 nn0cn 8249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  CC )
17163ad2ant1 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  CC )
1817adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  J  e.  CC )
19 nncn 7998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
20193ad2ant2 937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  CC )
2120adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  CC )
2215, 18, 21subadd23d 7407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  =  ( K  +  ( N  -  J ) ) )
23 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  NN0 )
24 nn0z 8322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  ZZ )
25 nnz 8321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
26 znnsub 8353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  <  N  <->  ( N  -  J )  e.  NN ) )
2724, 25, 26syl2an 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( J  <  N  <->  ( N  -  J )  e.  NN ) )
2827biimp3a 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( N  -  J )  e.  NN )
29 nn0nnaddcl 8270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  J
)  e.  NN )  ->  ( K  +  ( N  -  J
) )  e.  NN )
3023, 28, 29syl2anr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  +  ( N  -  J ) )  e.  NN )
3122, 30eqeltrd 2130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  NN )
3231adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  e.  NN )
33 simp2 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  NN )
3433adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  NN )
3534adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  ->  N  e.  NN )
36 nn0re 8248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3736adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  RR )
3837adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  K  e.  RR )
39 nn0re 8248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  RR )
40393ad2ant1 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  RR )
4140adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  J  e.  RR )
4238, 41sublt0d 7635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  <  0  <->  K  <  J ) )
4342bicomd 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  <  J  <->  ( K  -  J )  <  0
) )
4443biimpa 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( K  -  J
)  <  0 )
45 resubcl 7338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( K  -  J
)  e.  RR )
4637, 40, 45syl2anr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( K  -  J )  e.  RR )
47 nnre 7997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
48473ad2ant2 937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  N  e.  RR )
4948adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  N  e.  RR )
5046, 49jca 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
5150adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
52 ltaddnegr 7494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( K  -  J
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( K  -  J )  <  0  <->  ( ( K  -  J
)  +  N )  <  N ) )
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  <  0  <->  ( ( K  -  J
)  +  N )  <  N ) )
5444, 53mpbid 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  <  N )
55 elfzo1 9148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N )  <->  ( ( ( K  -  J )  +  N )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  -  J )  +  N )  < 
N ) )
5632, 35, 54, 55syl3anbrc 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  < 
N ) )  /\  K  <  J )  -> 
( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) )
5756exp31 350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  ( K  < 
J  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
5812, 57sylbi 118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
5958com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( J  e.  ( 0..^ N )  -> 
( K  <  J  ->  ( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
60593adant2 934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
6111, 60sylbi 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  < 
J  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
621, 61syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  <  J  ->  (
( K  -  J
)  +  N )  e.  ( 1..^ N ) ) ) )
6362impcom 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <  J  ->  ( ( K  -  J )  +  N
)  e.  ( 1..^ N ) ) )
6463impcom 120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  N )  e.  ( 1..^ N ) )
65 oveq1 5547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( ( K  -  J )  +  N )  ->  (
i  +  J )  =  ( ( ( K  -  J )  +  N )  +  J ) )
662zcnd 8420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  K  e.  CC )
6766adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  K  e.  CC )
6816adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  J  e.  CC )
6968adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  J  e.  CC )
7019adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
7170adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  ->  N  e.  CC )
7267, 69, 713jca 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
)
7372ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
741, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
7574com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
)  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
76753adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
) )
7712, 76sylbi 118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) ) )
7877imp 119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )
)
7978adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC ) )
80 nppcan 7296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( ( K  -  J )  +  N
)  +  J )  =  ( K  +  N ) )
8179, 80syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( (
( K  -  J
)  +  N )  +  J )  =  ( K  +  N
) )
8265, 81sylan9eqr 2110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  (
i  +  J )  =  ( K  +  N ) )
8382oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  (
( i  +  J
)  mod  N )  =  ( ( K  +  N )  mod 
N ) )
8483eqeq2d 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  /\  i  =  ( ( K  -  J )  +  N
) )  ->  ( K  =  ( (
i  +  J )  mod  N )  <->  K  =  ( ( K  +  N )  mod  N
) ) )
8511biimpi 117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
8685a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N
) ) )
871, 86syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) ) )
8887impcom 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N ) )
8988adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
90 addmodidr 9323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( K  +  N
)  mod  N )  =  K )
9190eqcomd 2061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  K  =  ( ( K  +  N )  mod 
N ) )
9289, 91syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  K  =  ( ( K  +  N )  mod  N
) )
9364, 84, 92rspcedvd 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  <  J  /\  ( J  e.  (
0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) )
9493ex 112 . . . . . . 7  |-  ( K  <  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
95 eldifsn 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  J
) )
96 eqneqall 2230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  =  J  ->  ( K  =/=  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
9796com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  =/=  J  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
9897adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ N )  /\  K  =/=  J )  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
9995, 98sylbi 118 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N
) ) )
10099adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  =  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
101100com12 30 . . . . . . 7  |-  ( K  =  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
10294, 101jaoi 646 . . . . . 6  |-  ( ( K  <  J  \/  K  =  J )  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
103102com12 30 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( ( K  < 
J  \/  K  =  J )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) ) )
10410, 103sylbid 143 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  <_  J  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
105104com12 30 . . 3  |-  ( K  <_  J  ->  (
( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
106 zltnle 8348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <  K  <->  -.  K  <_  J )
)
1074, 3, 106syl2an 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( J  <  K  <->  -.  K  <_  J )
)
108107bicomd 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( -.  K  <_  J 
<->  J  <  K ) )
109243ad2ant1 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  J  e.  ZZ )
110 nn0z 8322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  ZZ )
111110adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  ->  K  e.  ZZ )
112 znnsub 8353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( J  <  K  <->  ( K  -  J )  e.  NN ) )
113109, 111, 112syl2anr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  ( J  <  K  <->  ( K  -  J )  e.  NN ) )
114113biimpa 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( K  -  J
)  e.  NN )
11533adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  N  e.  NN )
116115adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  ->  N  e.  NN )
117 nn0ge0 8264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN0  ->  0  <_  J )
1181173ad2ant1 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  0  <_  J )
119118adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  0  <_  J
)
120 subge02 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  RR  /\  J  e.  RR )  ->  ( 0  <_  J  <->  ( K  -  J )  <_  K ) )
12136, 40, 120syl2an 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( 0  <_  J 
<->  ( K  -  J
)  <_  K )
)
122119, 121mpbid 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( K  -  J )  <_  K
)
12340adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  J  e.  RR )
12436adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  K  e.  RR )
12548adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  N  e.  RR )
126123, 124, 1253jca 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
12745ancoms 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( K  -  J
)  e.  RR )
1281273adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  -  J )  e.  RR )
129 simp2 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  K  e.  RR )
130 simp3 917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
131128, 129, 1303jca 1095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( K  -  J
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
132126, 131syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
133 lelttr 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  -  J
)  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( ( K  -  J )  <_  K  /\  K  <  N )  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
134132, 133syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( ( ( K  -  J )  <_  K  /\  K  <  N )  ->  ( K  -  J )  <  N ) )
135122, 134mpand 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N ) )  ->  ( K  < 
N  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
136135impancom 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  ->  ( K  -  J )  <  N
) )
137136imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )  ->  ( K  -  J )  <  N )
138137adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( K  -  J
)  <  N )
139114, 116, 1383jca 1095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
NN0  /\  K  <  N )  /\  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )  /\  J  <  K )  -> 
( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
)
140139exp31 350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  N )  -> 
( ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
)  ->  ( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) ) ) )
1411403adant2 934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  K  <  N )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
14211, 141sylbi 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N )  ->  ( J  <  K  ->  (
( K  -  J
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  <  N ) ) ) )
1431, 142syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  (
( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
144143com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N )  ->  ( K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) ) )
14512, 144sylbi 118 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( J  <  K  ->  (
( K  -  J
)  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  <  N ) ) ) )
146145imp 119 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( J  <  K  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J
)  <  N )
) )
147108, 146sylbid 143 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( -.  K  <_  J  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) ) )
148147impcom 120 . . . . . 6  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) )
149 elfzo1 9148 . . . . . 6  |-  ( ( K  -  J )  e.  ( 1..^ N )  <->  ( ( K  -  J )  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( K  -  J )  < 
N ) )
150148, 149sylibr 141 . . . . 5  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  -  J )  e.  ( 1..^ N ) )
151 oveq1 5547 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( K  -  J )  ->  (
i  +  J )  =  ( ( K  -  J )  +  J ) )
1521, 66syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  K  e.  CC )
1534zcnd 8420 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  J  e.  CC )
154 npcan 7283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  J  e.  CC )  ->  ( ( K  -  J )  +  J
)  =  K )
155152, 153, 154syl2anr 278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( ( K  -  J )  +  J
)  =  K )
156155adantl 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( ( K  -  J )  +  J )  =  K )
157151, 156sylan9eqr 2110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( i  +  J
)  =  K )
158157oveq1d 5555 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( ( i  +  J )  mod  N
)  =  ( K  mod  N ) )
159158eqeq2d 2067 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) ) )  /\  i  =  ( K  -  J ) )  -> 
( K  =  ( ( i  +  J
)  mod  N )  <->  K  =  ( K  mod  N ) ) )
160 zmodidfzoimp 9304 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ N )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
1611, 160syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
162161adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  -> 
( K  mod  N
)  =  K )
163162adantl 266 . . . . . 6  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  ( K  mod  N )  =  K )
164163eqcomd 2061 . . . . 5  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  K  =  ( K  mod  N ) )
165150, 159, 164rspcedvd 2680 . . . 4  |-  ( ( -.  K  <_  J  /\  ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod  N ) )
166165ex 112 . . 3  |-  ( -.  K  <_  J  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( (
0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  ( 1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
167105, 166jaoi 646 . 2  |-  ( ( K  <_  J  \/  -.  K  <_  J )  ->  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) ) )
1688, 167mpcom 36 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )  ->  E. i  e.  (
1..^ N ) K  =  ( ( i  +  J )  mod 
N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639  DECID wdc 753    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409    =/= wne 2220   E.wrex 2324    \ cdif 2942   {csn 3403   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947   1c1 6948    + caddc 6950    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245   NNcn 7990   NN0cn0 8239   ZZcz 8302  ..^cfzo 9101    mod cmo 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-ico 8864  df-fz 8977  df-fzo 9102  df-fl 9222  df-mod 9273
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