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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > modfzo0difsn | Unicode version | ||
| Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| modfzo0difsn |
     ..^  ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}  ..^ ![\](setminus.gif "\"){kind=small}     
 ..^    |
, , ,| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | eldifi 3193 |
. . . 4
..^ ..^ | |
| 2 | elfzoelz 9917 |
. . . 4
..^
 | |
| 3 | 1, 2 | syl 14 |
. . 3
..^ |
| 4 | elfzoelz 9917 |
. . 3
..^
| |
| 5 | zdcle 9120 |
. . . 4
DECID  | |
| 6 | exmiddc 821 |
. . . 4
DECID 
 | |
| 7 | 5, 6 | syl 14 |
. . 3
|
| 8 | 3, 4, 7 | syl2anr 288 |
. 2
..^ ..^ |
| 9 | zleloe 9094 |
. . . . . 6
 
| |
| 10 | 3, 4, 9 | syl2anr 288 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 11 | elfzo0 9952 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ 
 | |
| 12 | elfzo0 9952 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 13 | nn0cn 8980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 | |
| 14 | 13 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 15 | 14 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 16 | nn0cn 8980 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 18 | 17 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 19 | nncn 8721 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 20 | 19 | 3ad2ant2 1003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 21 | 20 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 22 | 15, 18, 21 | subadd23d 8088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 23 | simpl 108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 24 | nn0z 9067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 25 | nnz 9066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 26 | znnsub 9098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 27 | 24, 25, 26 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 28 | 27 | biimp3a 1323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 29 | nn0nnaddcl 9001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 30 | 23, 28, 29 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 31 | 22, 30 | eqeltrd 2214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 32 | 31 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 33 | simp2 982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 34 | 33 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 35 | 34 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 36 | nn0re 8979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 | |
| 37 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 39 | nn0re 8979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 40 | 39 | 3ad2ant1 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 41 | 40 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 42 | 38, 41 | sublt0d 8325 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 43 | 42 | bicomd 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 44 | 43 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | resubcl 8019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 46 | 37, 40, 45 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 47 | nnre 8720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 48 | 47 | 3ad2ant2 1003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 49 | 48 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 50 | 46, 49 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 52 | ltaddnegr 8180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 53 | 51, 52 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 44, 53 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | elfzo1 9960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ | |
| 56 | 32, 35, 54, 55 | syl3anbrc 1165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^ |
| 57 | 56 | exp31 361 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^ |
| 58 | 12, 57 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^ |
| 59 | 58 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^ |
| 60 | 59 | 3adant2 1000 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^ ..^ |
| 61 | 11, 60 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
..^ |
| 62 | 1, 61 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ ..^ |
| 63 | 62 | impcom 124 |
. . . . . . . . . 10
..^ ..^ ..^ |
| 64 | 63 | impcom 124 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
..^ |
| 65 | oveq1 5774 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 66 | 2 | zcnd 9167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 67 | 66 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 68 | 16 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 70 | 19 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 71 | 70 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 72 | 67, 69, 71 | 3jca 1161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 73 | 72 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 74 | 1, 73 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^ |
| 75 | 74 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 76 | 75 | 3adant3 1001 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 77 | 12, 76 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
..^
|
| 78 | 77 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^ ..^
|
| 79 | 78 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 80 | nppcan 7977 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 81 | 79, 80 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 82 | 65, 81 | sylan9eqr 2192 |
. . . . . . . . . . 11
..^
..^ |
| 83 | 82 | oveq1d 5782 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 84 | 83 | eqeq2d 2149 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 85 | 11 | biimpi 119 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 86 | 85 | a1d 22 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
..^
|
| 87 | 1, 86 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
..^
|
| 88 | 87 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . 11
..^ ..^ |
| 89 | 88 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^
|
| 90 | addmodidr 10139 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 91 | 90 | eqcomd 2143 |
. . . . . . . . . 10
|
| 92 | 89, 91 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 93 | 64, 84, 92 | rspcedvd 2790 |
. . . . . . . 8
..^
..^
..^ |
| 94 | 93 | ex 114 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 95 | eldifsn 3645 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^  | |
| 96 | eqneqall 2316 |
. . . . . . . . . . . 12
..^ | |
| 97 | 96 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 98 | 97 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
..^
..^ |
| 99 | 95, 98 | sylbi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
..^ |
| 100 | 99 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ ..^ |
| 101 | 100 | com12 30 |
. . . . . . 7
..^
..^ ..^ |
| 102 | 94, 101 | jaoi 705 |
. . . . . 6
..^ ..^ ..^ |
| 103 | 102 | com12 30 |
. . . . 5
..^ ..^ ..^ |
| 104 | 10, 103 | sylbid 149 |
. . . 4
..^ ..^ ..^ |
| 105 | 104 | com12 30 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 106 | zltnle 9093 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 107 | 4, 3, 106 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^
|
| 108 | 107 | bicomd 140 |
. . . . . . . 8
..^ ..^ |
| 109 | 24 | 3ad2ant1 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 110 | nn0z 9067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 111 | 110 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | znnsub 9098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 113 | 109, 111, 112 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 114 | 113 | biimpa 294 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 33 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 116 | 115 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 117 | nn0ge0 8995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 118 | 117 | 3ad2ant1 1002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 119 | 118 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 120 | subge02 8233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 121 | 36, 40, 120 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 122 | 119, 121 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 123 | 40 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 124 | 36 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 125 | 48 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 126 | 123, 124, 125 | 3jca 1161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 127 | 45 | ancoms 266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 128 | 127 | 3adant3 1001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 129 | simp2 982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 130 | simp3 983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 131 | 128, 129, 130 | 3jca 1161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 132 | 126, 131 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 133 | lelttr 7845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 134 | 132, 133 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 135 | 122, 134 | mpand 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 136 | 135 | impancom 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 138 | 137 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 139 | 114, 116, 138 | 3jca 1161 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 140 | 139 | exp31 361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 141 | 140 | 3adant2 1000 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 142 | 11, 141 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 1, 142 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 12, 144 | sylbi 120 |
. . . . . . . . 9
..^
..^
|
| 146 | 145 | imp 123 |
. . . . . . . 8
..^ ..^
|
| 147 | 108, 146 | sylbid 149 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 148 | 147 | impcom 124 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 149 | elfzo1 9960 |
. . . . . 6
..^ | |
| 150 | 148, 149 | sylibr 133 |
. . . . 5
..^
..^
..^ |
| 151 | oveq1 5774 |
. . . . . . . 8
| |
| 152 | 1, 66 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 153 | 4 | zcnd 9167 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 154 | npcan 7964 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 155 | 152, 153, 154 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . 9
..^ ..^ |
| 156 | 155 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
..^
..^
|
| 157 | 151, 156 | sylan9eqr 2192 |
. . . . . . 7
..^ ..^
|
| 158 | 157 | oveq1d 5782 |
. . . . . 6
..^ ..^
|
| 159 | 158 | eqeq2d 2149 |
. . . . 5
..^ ..^
|
| 160 | zmodidfzoimp 10120 |
. . . . . . . . 9
..^
| |
| 161 | 1, 160 | syl 14 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 162 | 161 | adantl 275 |
. . . . . . 7
..^ ..^ |
| 163 | 162 | adantl 275 |
. . . . . 6
..^
..^
|
| 164 | 163 | eqcomd 2143 |
. . . . 5
..^
..^
|
| 165 | 150, 159, 164 | rspcedvd 2790 |
. . . 4
..^
..^
..^ |
| 166 | 165 | ex 114 |
. . 3
..^
..^ ..^ |
| 167 | 105, 166 | jaoi 705 |
. 2
..^ ..^
..^ |
| 168 | 8, 167 | mpcom 36 |
1
..^ ..^
..^ |
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 697 DECID wdc 819
w3a 962
wceq 1331
wcel 1480
wne 2306
wrex 2415
cdif 3063
csn 3522
class class class wbr 3924 (class class class)co 5767
cc 7611
cr 7612
cc0 7613
c1 7614
caddc 7616 clt 7793 cle 7794 cmin 7926 cn 8713 cn0 8970 cz 9047 ..^cfzo 9912
cmo 10088 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2119 ax-sep 4041 ax-pow 4093 ax-pr 4126 ax-un 4350 ax-setind 4447 ax-cnex 7704 ax-resscn 7705 ax-1cn 7706 ax-1re 7707 ax-icn 7708 ax-addcl 7709 ax-addrcl 7710 ax-mulcl 7711 ax-mulrcl 7712 ax-addcom 7713 ax-mulcom 7714 ax-addass 7715 ax-mulass 7716 ax-distr 7717 ax-i2m1 7718 ax-0lt1 7719 ax-1rid 7720 ax-0id 7721 ax-rnegex 7722 ax-precex 7723 ax-cnre 7724 ax-pre-ltirr 7725 ax-pre-ltwlin 7726 ax-pre-lttrn 7727 ax-pre-apti 7728 ax-pre-ltadd 7729 ax-pre-mulgt0 7730 ax-pre-mulext 7731 ax-arch 7732 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2000 df-mo 2001 df-clab 2124 df-cleq 2130 df-clel 2133 df-nfc 2268 df-ne 2307 df-nel 2402 df-ral 2419 df-rex 2420 df-reu 2421 df-rmo 2422 df-rab 2423 df-v 2683 df-sbc 2905 df-csb 2999 df-dif 3068 df-un 3070 df-in 3072 df-ss 3079 df-pw 3507 df-sn 3528 df-pr 3529 df-op 3531 df-uni 3732 df-int 3767 df-iun 3810 df-br 3925 df-opab 3985 df-mpt 3986 df-id 4210 df-po 4213 df-iso 4214 df-xp 4540 df-rel 4541 df-cnv 4542 df-co 4543 df-dm 4544 df-rn 4545 df-res 4546 df-ima 4547 df-iota 5083 df-fun 5120 df-fn 5121 df-f 5122 df-fv 5126 df-riota 5723 df-ov 5770 df-oprab 5771 df-mpo 5772 df-1st 6031 df-2nd 6032 df-pnf 7795 df-mnf 7796 df-xr 7797 df-ltxr 7798 df-le 7799 df-sub 7928 df-neg 7929 df-reap 8330 df-ap 8337 df-div 8426 df-inn 8714 df-n0 8971 df-z 9048 df-uz 9320 df-q 9405 df-rp 9435 df-ico 9670 df-fz 9784 df-fzo 9913 df-fl 10036 df-mod 10089 |
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