ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modifeq2int Unicode version

Theorem modifeq2int 9336
Description: If a nonnegative integer is less than twice a positive integer, the nonnegative integer modulo the positive integer equals the nonnegative integer or the nonnegative integer minus the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modifeq2int  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  if ( A  < 
B ,  A , 
( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem modifeq2int
StepHypRef Expression
1 simp1 915 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  A  e.  NN0 )
2 nn0z 8322 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
3 zq 8658 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  QQ )
51, 4syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  A  e.  QQ )
65adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  ->  A  e.  QQ )
7 nnq 8665 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  QQ )
873ad2ant2 937 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  B  e.  QQ )
98adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  ->  B  e.  QQ )
101nn0ge0d 8295 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  0  <_  A )
1110adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  -> 
0  <_  A )
12 simpr 107 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  ->  A  <  B )
13 modqid 9299 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  A )
146, 9, 11, 12, 13syl22anc 1147 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  -> 
( A  mod  B
)  =  A )
15 iftrue 3364 . . . . 5  |-  ( A  <  B  ->  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) )  =  A )
1615eqcomd 2061 . . . 4  |-  ( A  <  B  ->  A  =  if ( A  < 
B ,  A , 
( A  -  B
) ) )
1716adantl 266 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  ->  A  =  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) ) )
1814, 17eqtrd 2088 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  A  <  B )  -> 
( A  mod  B
)  =  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) ) )
195adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  A  e.  QQ )
208adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  B  e.  QQ )
21 simp2 916 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  B  e.  NN )
2221adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  B  e.  NN )
2322nngt0d 8033 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  0  <  B
)
2421nnred 8003 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  B  e.  RR )
251nn0red 8293 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  A  e.  RR )
2624, 25lenltd 7193 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
2726biimpar 285 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  B  <_  A
)
28 simpl3 920 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  A  <  (
2  x.  B ) )
29 q2submod 9335 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  /\  ( B  <_  A  /\  A  <  ( 2  x.  B ) ) )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  B ) )
3019, 20, 23, 27, 28, 29syl32anc 1154 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  B ) )
31 iffalse 3367 . . . . 5  |-  ( -.  A  <  B  ->  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) )  =  ( A  -  B ) )
3231adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) )  =  ( A  -  B
) )
3332eqcomd 2061 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  ( A  -  B )  =  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) ) )
3430, 33eqtrd 2088 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B ) )  /\  -.  A  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  if ( A  <  B ,  A ,  ( A  -  B ) ) )
351, 2syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  A  e.  ZZ )
3621nnzd 8418 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  B  e.  ZZ )
37 zdclt 8376 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  B )
38 exmiddc 755 . . . 4  |-  (DECID  A  < 
B  ->  ( A  <  B  \/  -.  A  <  B ) )
3937, 38syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  \/  -.  A  <  B
) )
4035, 36, 39syl2anc 397 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  ( A  <  B  \/  -.  A  <  B ) )
4118, 34, 40mpjaodan 722 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN  /\  A  <  ( 2  x.  B
) )  ->  ( A  mod  B )  =  if ( A  < 
B ,  A , 
( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639  DECID wdc 753    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   ifcif 3359   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   0cc0 6947    x. cmul 6952    < clt 7119    <_ cle 7120    - cmin 7245   NNcn 7990   2c2 8040   NN0cn0 8239   ZZcz 8302   QQcq 8651    mod cmo 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-q 8652  df-rp 8682  df-fl 9222  df-mod 9273
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator