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Theorem modqcyc 9309
Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqcyc  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )

Proof of Theorem modqcyc
StepHypRef Expression
1 simpll 489 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  A  e.  QQ )
2 zq 8658 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
32ad2antlr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  QQ )
4 simprl 491 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  QQ )
5 qmulcl 8669 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( N  x.  B
)  e.  QQ )
63, 4, 5syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( N  x.  B
)  e.  QQ )
7 qaddcl 8667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( N  x.  B
)  e.  QQ )  ->  ( A  +  ( N  x.  B
) )  e.  QQ )
81, 6, 7syl2anc 397 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  +  ( N  x.  B ) )  e.  QQ )
9 simprr 492 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
0  <  B )
10 modqval 9274 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  mod  B )  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) ) ) )
118, 4, 9, 10syl3anc 1146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) ) ) )
12 qcn 8666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
131, 12syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  A  e.  CC )
14 qcn 8666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  x.  B )  e.  QQ  ->  ( N  x.  B )  e.  CC )
156, 14syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( N  x.  B
)  e.  CC )
16 qcn 8666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
174, 16syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  CC )
18 qre 8657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
194, 18syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  e.  RR )
2019, 9gt0ap0d 7693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B #  0 )
2113, 15, 17, 20divdirapd 7878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  +  ( ( N  x.  B )  /  B ) ) )
22 simplr 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  ZZ )
2322zcnd 8420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  N  e.  CC )
2423, 17, 20divcanap4d 7846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( N  x.  B )  /  B
)  =  N )
2524oveq2d 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( ( N  x.  B
)  /  B ) )  =  ( ( A  /  B )  +  N ) )
2621, 25eqtrd 2088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
)  =  ( ( A  /  B )  +  N ) )
2726fveq2d 5210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) )  =  ( |_
`  ( ( A  /  B )  +  N ) ) )
289gt0ne0d 7578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  ->  B  =/=  0 )
29 qdivcl 8675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
301, 4, 28, 29syl3anc 1146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  QQ )
31 flqaddz 9247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( A  /  B
)  +  N ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3230, 22, 31syl2anc 397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  /  B
)  +  N ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3327, 32eqtrd 2088 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  (
( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) )  =  ( ( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )
3433oveq2d 5556 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) )  =  ( B  x.  ( ( |_ `  ( A  /  B
) )  +  N
) ) )
3530flqcld 9227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
3635zcnd 8420 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
3717, 36, 23adddid 7109 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  +  N ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( B  x.  N
) ) )
3817, 23mulcomd 7106 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  N
)  =  ( N  x.  B ) )
3938oveq2d 5556 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( B  x.  N ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( N  x.  B
) ) )
4034, 37, 393eqtrd 2092 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  /  B ) ) )  =  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) )  +  ( N  x.  B
) ) )
4140oveq2d 5556 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  -  ( B  x.  ( |_ `  ( ( A  +  ( N  x.  B
) )  /  B
) ) ) )  =  ( ( A  +  ( N  x.  B ) )  -  ( ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( N  x.  B ) ) ) )
4217, 36mulcld 7105 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  CC )
4313, 42, 15pnpcan2d 7423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  -  (
( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  +  ( N  x.  B ) ) )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
4411, 41, 433eqtrd 2092 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
45 modqval 9274 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  0  <  B )  ->  ( A  mod  B )  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) ) )
461, 4, 9, 45syl3anc 1146 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
4744, 46eqtr4d 2091 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  QQ  /\  0  < 
B ) )  -> 
( ( A  +  ( N  x.  B
) )  mod  B
)  =  ( A  mod  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409    =/= wne 2220   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947    + caddc 6950    x. cmul 6952    < clt 7119    - cmin 7245    / cdiv 7725   ZZcz 8302   QQcq 8651   |_cfl 9220    mod cmo 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-q 8652  df-rp 8682  df-fl 9222  df-mod 9273
This theorem is referenced by:  modqcyc2  9310  mulqaddmodid  9314  qnegmod  9319  modsumfzodifsn  9346
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