Theorem modqid 9483

Description: Identity law for modulo. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqid	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )

Proof of Theorem modqid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 496	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. QQ )
2		simplr 497	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. QQ )
3		0red 7234	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 e. RR )
4		qre 8843	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	ad2antrr 472	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. RR )
6		qre 8843	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
7	6	ad2antlr 473	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. RR )
8		simprl 498	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ A )
9		simprr 499	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < B )
10	3, 5, 7, 8, 9	lelttrd 7353	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 < B )
11		modqval 9458	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ 0 < B ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1170	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) )
13	10	gt0ne0d 7732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B =/= 0 )
14		qdivcl 8861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. QQ )
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) e. QQ )
16		qcn 8852	. . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. QQ -> ( A / B ) e. CC )
17		addid2 7366	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( 0 + ( A / B ) ) = ( A / B ) )
18	17	fveq2d 5233	. . . . . . . 8 |- ( ( A / B ) e. CC -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
19	15, 16, 18	3syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = ( |_ ` ( A / B ) ) )
20		divge0 8070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
21	5, 8, 7, 10, 20	syl22anc 1171	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 0 <_ ( A / B ) )
22	7	recnd 7261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> B e. CC )
23	22	mulid1d 7250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 1 ) = B )
24	9, 23	breqtrrd 3831	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A < ( B x. 1 ) )
25		1red 7248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> 1 e. RR )
26		ltdivmul 8073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
27	5, 25, 7, 10, 26	syl112anc 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( A / B ) < 1 <-> A < ( B x. 1 ) ) )
28	24, 27	mpbird 165	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A / B ) < 1 )
29		0z 8495	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
30		flqbi2 9425	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( A / B ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
31	29, 15, 30	sylancr 405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 <-> ( 0 <_ ( A / B ) /\ ( A / B ) < 1 ) ) )
32	21, 28, 31	mpbir2and 886	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( 0 + ( A / B ) ) ) = 0 )
33	19, 32	eqtr3d 2117	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( |_ ` ( A / B ) ) = 0 )
34	33	oveq2d 5579	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = ( B x. 0 ) )
35	22	mul01d 7616	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. 0 ) = 0 )
36	34, 35	eqtrd 2115	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) = 0 )
37	36	oveq2d 5579	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = ( A - 0 ) )
38	5	recnd 7261	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> A e. CC )
39	38	subid1d 7527	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - 0 ) = A )
40	37, 39	eqtrd 2115	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A - ( B x. ( |_ ` ( A / B ) ) ) ) = A )
41	12, 40	eqtrd 2115	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( 0 <_ A /\ A < B ) ) -> ( A mod B ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2249   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   RRcr 7094   0cc0 7095   1c1 7096   + caddc 7098   x. cmul 7100   < clt 7267   <_ cle 7268   - cmin 7398   / cdiv 7879   ZZcz 8484   QQcq 8837   |_cfl 9402   mod cmo 9456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-mod 9457

This theorem is referenced by:  modqid2  9485  q0mod  9489  q1mod  9490  modqabs  9491  mulqaddmodid  9498  m1modnnsub1  9504  modqltm1p1mod  9510  q2submod  9519  modifeq2int  9520  modaddmodlo  9522  modqsubdir  9527  modsumfzodifsn  9530  crth  10807