Theorem modqsubdir 9464

Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqsubdir	|- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 496	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. QQ )
2		simprl 498	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. QQ )
3		simprr 499	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
4	1, 2, 3	modqcld 9399	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. QQ )
5		qre 8780	. . . 4 |- ( ( A mod C ) e. QQ -> ( A mod C ) e. RR )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) e. RR )
7		simplr 497	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. QQ )
8	7, 2, 3	modqcld 9399	. . . 4 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. QQ )
9		qre 8780	. . . 4 |- ( ( B mod C ) e. QQ -> ( B mod C ) e. RR )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) e. RR )
11	6, 10	subge0d 7691	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( B mod C ) <_ ( A mod C ) ) )
12		qsubcl 8793	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A - B ) e. QQ )
13	12	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A - B ) e. QQ )
14	3	gt0ne0d 7669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C =/= 0 )
15		qdivcl 8798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( A / C ) e. QQ )
16	1, 2, 14, 15	syl3anc 1170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A / C ) e. QQ )
17	16	flqcld 9348	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ )
18		qdivcl 8798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ C =/= 0 ) -> ( B / C ) e. QQ )
19	7, 2, 14, 18	syl3anc 1170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B / C ) e. QQ )
20	19	flqcld 9348	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ )
21	17, 20	zsubcld 8544	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ )
22		modqcyc2 9431	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A - B ) e. QQ /\ ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. ZZ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
23	13, 21, 2, 3, 22	syl22anc 1171	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( A - B ) mod C ) )
24		qcn 8789	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
25	1, 24	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> A e. CC )
26		qcn 8789	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
27	7, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> B e. CC )
28		zq 8781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( A / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
29	17, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ )
30		qmulcl 8792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( A / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
31	2, 29, 30	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ )
32		qcn 8789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
33	31, 32	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) e. CC )
34		zq 8781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( B / C ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
35	20, 34	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ )
36		qmulcl 8792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. QQ /\ ( |_ ` ( B / C ) ) e. QQ ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
37	2, 35, 36	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ )
38		qcn 8789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. QQ -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) e. CC )
40	25, 27, 33, 39	sub4d 7524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
41		qcn 8789	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. QQ -> C e. CC )
42	2, 41	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. CC )
43	17	zcnd 8540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( A / C ) ) e. CC )
44	20	zcnd 8540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( |_ ` ( B / C ) ) e. CC )
45	42, 43, 44	subdid 7574	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) = ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 5553	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A - B ) - ( ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
47		modqval 9395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
48	1, 2, 3, 47	syl3anc 1170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) = ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) )
49		modqval 9395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
50	7, 2, 3, 49	syl3anc 1170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( B mod C ) = ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) )
51	48, 50	oveq12d 5555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) = ( ( A - ( C x. ( |_ ` ( A / C ) ) ) ) - ( B - ( C x. ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) )
52	40, 46, 51	3eqtr4d 2124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
53	52	oveq1d 5552	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( ( A - B ) - ( C x. ( ( |_ ` ( A / C ) ) - ( |_ ` ( B / C ) ) ) ) ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
54	23, 53	eqtr3d 2116	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
55	54	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) )
56		qsubcl 8793	. . . . . . 7 |- ( ( ( A mod C ) e. QQ /\ ( B mod C ) e. QQ ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
57	4, 8, 56	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
58	57	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ )
59	2	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> C e. QQ )
60		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
61	6, 10	resubcld 7541	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. RR )
62		qre 8780	. . . . . . . 8 |- ( C e. QQ -> C e. RR )
63	2, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> C e. RR )
64		modqge0 9403	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
65	7, 2, 3, 64	syl3anc 1170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( B mod C ) )
66	6, 10	subge02d 7693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( B mod C ) <-> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) ) )
67	65, 66	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <_ ( A mod C ) )
68		modqlt 9404	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> ( A mod C ) < C )
69	1, 2, 3, 68	syl3anc 1170	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( A mod C ) < C )
70	61, 6, 63, 67, 69	lelttrd 7290	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
71	70	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C )
72		modqid 9420	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) e. QQ /\ C e. QQ ) /\ ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) /\ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) < C ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
73	58, 59, 60, 71, 72	syl22anc 1171	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
74	55, 73	eqtrd 2114	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
75		modqge0 9403	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. QQ /\ C e. QQ /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
76	13, 2, 3, 75	syl3anc 1170	. . . . 5 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
77	76	adantr 270	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A - B ) mod C ) )
78		simpr 108	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
79	77, 78	breqtrd 3811	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) /\ ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) -> 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) )
80	74, 79	impbida 561	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )
81	11, 80	bitr3d 188	1 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ ( C e. QQ /\ 0 < C ) ) -> ( ( B mod C ) <_ ( A mod C ) <-> ( ( A - B ) mod C ) = ( ( A mod C ) - ( B mod C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2246   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   CCcc 7030   RRcr 7031   0cc0 7032   x. cmul 7037   < clt 7204   <_ cle 7205   - cmin 7335   / cdiv 7816   ZZcz 8421   QQcq 8774   |_cfl 9339   mod cmo 9393

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341  df-mod 9394

This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  9465