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Theorem modqsubdir 9464
Description: Distribute the modulo operation over a subtraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubdir  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )

Proof of Theorem modqsubdir
StepHypRef Expression
1 simpll 496 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  QQ )
2 simprl 498 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  QQ )
3 simprr 499 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <  C )
41, 2, 3modqcld 9399 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  QQ )
5 qre 8780 . . . 4  |-  ( ( A  mod  C )  e.  QQ  ->  ( A  mod  C )  e.  RR )
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  e.  RR )
7 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  QQ )
87, 2, 3modqcld 9399 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  QQ )
9 qre 8780 . . . 4  |-  ( ( B  mod  C )  e.  QQ  ->  ( B  mod  C )  e.  RR )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  e.  RR )
116, 10subge0d 7691 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( B  mod  C
)  <_  ( A  mod  C ) ) )
12 qsubcl 8793 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  -  B
)  e.  QQ )
1312adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  QQ )
143gt0ne0d 7669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  =/=  0 )
15 qdivcl 8798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  QQ )
161, 2, 14, 15syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  /  C
)  e.  QQ )
1716flqcld 9348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ )
18 qdivcl 8798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  QQ )
197, 2, 14, 18syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  /  C
)  e.  QQ )
2019flqcld 9348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ )
2117, 20zsubcld 8544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )
22 modqcyc2 9431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  QQ  /\  ( ( |_ `  ( A  /  C
) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  ->  ( (
( A  -  B
)  -  ( C  x.  ( ( |_
`  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  mod 
C )  =  ( ( A  -  B
)  mod  C )
)
2313, 21, 2, 3, 22syl22anc 1171 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( A  -  B )  mod 
C ) )
24 qcn 8789 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
251, 24syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  A  e.  CC )
26 qcn 8789 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
277, 26syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  B  e.  CC )
28 zq 8781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
2917, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )
30 qmulcl 8792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
312, 29, 30syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ )
32 qcn 8789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( A  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  e.  CC )
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  e.  CC )
34 zq 8781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
3520, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )
36 qmulcl 8792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  QQ  /\  ( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  QQ )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
372, 35, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ )
38 qcn 8789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  x.  ( |_
`  ( B  /  C ) ) )  e.  QQ  ->  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) )  e.  CC )
3937, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) )  e.  CC )
4025, 27, 33, 39sub4d 7524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
41 qcn 8789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  CC )
422, 41syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  CC )
4317zcnd 8540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  C ) )  e.  CC )
4420zcnd 8540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( |_ `  ( B  /  C ) )  e.  CC )
4542, 43, 44subdid 7574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
4645oveq2d 5553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  -  B )  -  (
( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) )  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
47 modqval 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C
) ) ) ) )
481, 2, 3, 47syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  =  ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) ) )
49 modqval 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( B  mod  C )  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )
507, 2, 3, 49syl3anc 1170 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( B  mod  C
)  =  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )
5148, 50oveq12d 5555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  =  ( ( A  -  ( C  x.  ( |_ `  ( A  /  C ) ) ) )  -  ( B  -  ( C  x.  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) ) )
5240, 46, 513eqtr4d 2124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  -  ( C  x.  ( ( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C ) ) ) ) )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
5352oveq1d 5552 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  -  ( C  x.  (
( |_ `  ( A  /  C ) )  -  ( |_ `  ( B  /  C
) ) ) ) )  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
5423, 53eqtr3d 2116 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C ) )
5554adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C
) )
56 qsubcl 8793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  mod  C
)  e.  QQ  /\  ( B  mod  C )  e.  QQ )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
574, 8, 56syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
5857adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ )
592adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  C  e.  QQ )
60 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
616, 10resubcld 7541 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  RR )
62 qre 8780 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  QQ  ->  C  e.  RR )
632, 62syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  ->  C  e.  RR )
64 modqge0 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( B  mod  C
) )
657, 2, 3, 64syl3anc 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( B  mod  C ) )
666, 10subge02d 7693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  ( B  mod  C )  <->  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) ) )
6765, 66mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <_  ( A  mod  C ) )
68 modqlt 9404 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  ( A  mod  C )  < 
C )
691, 2, 3, 68syl3anc 1170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( A  mod  C
)  <  C )
7061, 6, 63, 67, 69lelttrd 7290 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
7170adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <  C )
72 modqid 9420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  e.  QQ  /\  C  e.  QQ )  /\  ( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  /\  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  <  C ) )  ->  ( (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7358, 59, 60, 71, 72syl22anc 1171 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7455, 73eqtrd 2114 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  ->  (
( A  -  B
)  mod  C )  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
75 modqge0 9403 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  QQ  /\  C  e.  QQ  /\  0  <  C )  ->  0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C
) )
7613, 2, 3, 75syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
7776adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  B )  mod  C ) )
78 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
7977, 78breqtrd 3811 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  <  C ) )  /\  ( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )  -> 
0  <_  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) )
8074, 79impbida 561 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) )  <-> 
( ( A  -  B )  mod  C
)  =  ( ( A  mod  C )  -  ( B  mod  C ) ) ) )
8111, 80bitr3d 188 1  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  ( C  e.  QQ  /\  0  < 
C ) )  -> 
( ( B  mod  C )  <_  ( A  mod  C )  <->  ( ( A  -  B )  mod  C )  =  ( ( A  mod  C
)  -  ( B  mod  C ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   CCcc 7030   RRcr 7031   0cc0 7032    x. cmul 7037    < clt 7204    <_ cle 7205    - cmin 7335    / cdiv 7816   ZZcz 8421   QQcq 8774   |_cfl 9339    mod cmo 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341  df-mod 9394
This theorem is referenced by:  modqeqmodmin  9465
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