ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modremain Unicode version

Theorem modremain 10462
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( ( N  mod  D )  =  R  <->  E. z  e.  ZZ  ( ( z  x.  D )  +  R )  =  N ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, N    z, R

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2084 . 2  |-  ( ( N  mod  D )  =  R  <->  R  =  ( N  mod  D ) )
2 divalgmodcl 10461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( R  =  ( N  mod  D )  <->  ( R  <  D  /\  D  ||  ( N  -  R
) ) ) )
323adant3r 1167 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( R  =  ( N  mod  D )  <-> 
( R  <  D  /\  D  ||  ( N  -  R ) ) ) )
4 ibar 295 . . . . 5  |-  ( R  <  D  ->  ( D  ||  ( N  -  R )  <->  ( R  <  D  /\  D  ||  ( N  -  R
) ) ) )
54adantl 271 . . . 4  |-  ( ( R  e.  NN0  /\  R  <  D )  -> 
( D  ||  ( N  -  R )  <->  ( R  <  D  /\  D  ||  ( N  -  R ) ) ) )
653ad2ant3 962 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( D  ||  ( N  -  R )  <->  ( R  <  D  /\  D  ||  ( N  -  R ) ) ) )
7 nnz 8440 . . . . . 6  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  ZZ )
873ad2ant2 961 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  ->  D  e.  ZZ )
9 simp1 939 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 nn0z 8441 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  NN0  ->  R  e.  ZZ )
1110adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  NN0  /\  R  <  D )  ->  R  e.  ZZ )
12113ad2ant3 962 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  ->  R  e.  ZZ )
139, 12zsubcld 8544 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( N  -  R
)  e.  ZZ )
14 divides 10331 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  -  R
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  -  R
)  <->  E. z  e.  ZZ  ( z  x.  D
)  =  ( N  -  R ) ) )
158, 13, 14syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( D  ||  ( N  -  R )  <->  E. z  e.  ZZ  (
z  x.  D )  =  ( N  -  R ) ) )
16 eqcom 2084 . . . . . 6  |-  ( ( z  x.  D )  =  ( N  -  R )  <->  ( N  -  R )  =  ( z  x.  D ) )
17 zcn 8426 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
18173ad2ant1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  ->  N  e.  CC )
1918adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
20 nn0cn 8354 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  NN0  ->  R  e.  CC )
2120adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  NN0  /\  R  <  D )  ->  R  e.  CC )
22213ad2ant3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  ->  R  e.  CC )
2322adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  R  e.  CC )
24 simpr 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
258adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
2624, 25zmulcld 8545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  x.  D )  e.  ZZ )
2726zcnd 8540 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
z  x.  D )  e.  CC )
2819, 23, 27subadd2d 7494 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  R
)  =  ( z  x.  D )  <->  ( (
z  x.  D )  +  R )  =  N ) )
2916, 28syl5bb 190 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( z  x.  D
)  =  ( N  -  R )  <->  ( (
z  x.  D )  +  R )  =  N ) )
3029rexbidva 2366 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( E. z  e.  ZZ  ( z  x.  D )  =  ( N  -  R )  <->  E. z  e.  ZZ  ( ( z  x.  D )  +  R
)  =  N ) )
3115, 30bitrd 186 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( D  ||  ( N  -  R )  <->  E. z  e.  ZZ  (
( z  x.  D
)  +  R )  =  N ) )
323, 6, 313bitr2d 214 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( R  =  ( N  mod  D )  <->  E. z  e.  ZZ  ( ( z  x.  D )  +  R
)  =  N ) )
331, 32syl5bb 190 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( R  e.  NN0  /\  R  <  D ) )  -> 
( ( N  mod  D )  =  R  <->  E. z  e.  ZZ  ( ( z  x.  D )  +  R )  =  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2350   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   CCcc 7030    + caddc 7035    x. cmul 7037    < clt 7204    - cmin 7335   NNcn 8095   NN0cn0 8344   ZZcz 8421    mod cmo 9393    || cdvds 10329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341  df-mod 9394  df-iseq 9511  df-iexp 9562  df-cj 9856  df-re 9857  df-im 9858  df-rsqrt 10011  df-abs 10012  df-dvds 10330
This theorem is referenced by:  bezoutlemnewy  10518  bezoutlemstep  10519
  Copyright terms: Public domain W3C validator