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Theorem modsumfzodifsn 9467
Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
modsumfzodifsn  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9223 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  K  e.  ZZ )
21adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  ZZ )
3 zq 8781 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  QQ )
42, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  QQ )
5 elfzo0 9257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  <->  ( J  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  <  N
) )
65biimpi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( 0..^ N )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
76adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( J  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  J  < 
N ) )
87simp1d 951 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  NN0 )
98nn0zd 8537 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  ZZ )
10 zq 8781 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  QQ )
119, 10syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  QQ )
12 qaddcl 8790 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  QQ  /\  J  e.  QQ )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
134, 11, 12syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  QQ )
1413adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
157simp2d 952 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  NN )
16 nnq 8788 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  QQ )
1715, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  QQ )
1817adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
19 elfzo1 9265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2019biimpi 118 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 1..^ N )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2120adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  < 
N ) )
2221simp1d 951 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN )
2322nnnn0d 8397 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  NN0 )
2423, 8nn0addcld 8401 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  NN0 )
2524nn0ge0d 8400 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
2625adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( K  +  J ) )
27 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  <  N )
28 modqid 9420 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( K  +  J
)  /\  ( K  +  J )  <  N
) )  ->  (
( K  +  J
)  mod  N )  =  ( K  +  J ) )
2914, 18, 26, 27, 28syl22anc 1171 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( K  +  J ) )
3024adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  NN0 )
3115adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
32 elfzo0 9257 . . . . 5  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( K  +  J )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( K  +  J )  <  N
) )
3330, 31, 27, 32syl3anbrc 1123 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( 0..^ N ) )
342zcnd 8540 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  CC )
35 0cnd 7163 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  e.  CC )
368nn0cnd 8399 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  CC )
3722nnne0d 8139 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  0 )
3834, 35, 36, 37addneintr2d 7353 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
3936addid2d 7314 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( 0  +  J )  =  J )
4038, 39neeqtrd 2274 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  =/=  J
)
4140adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  =/=  J )
42 eldifsn 3519 . . . 4  |-  ( ( K  +  J )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( ( K  +  J )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( K  +  J )  =/=  J
) )
4333, 41, 42sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4429, 43eqeltrd 2156 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
4515nncnd 8109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  CC )
4645adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  CC )
4746mulm1d 7570 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( -u 1  x.  N )  =  -u N )
4847oveq2d 5553 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  +  -u N
) )
4934, 36addcld 7189 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  CC )
5049, 45negsubd 7481 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J )  -  N
) )
5150adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  -u N )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5248, 51eqtrd 2114 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  +  (
-u 1  x.  N
) )  =  ( ( K  +  J
)  -  N ) )
5352oveq1d 5552 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )
)
5413adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  QQ )
55 neg1z 8453 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
5655a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  -> 
-u 1  e.  ZZ )
5717adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  QQ )
5815nngt0d 8138 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  0  <  N )
5958adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <  N )
60 modqcyc 9430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  +  J )  e.  QQ  /\  -u 1  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  QQ  /\  0  < 
N ) )  -> 
( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
6154, 56, 57, 59, 60syl22anc 1171 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  +  ( -u 1  x.  N ) )  mod 
N )  =  ( ( K  +  J
)  mod  N )
)
62 qsubcl 8793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
6313, 17, 62syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ )
6463adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  QQ )
65 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  -.  ( K  +  J )  <  N
)
6615nnred 8108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  RR )
6766adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  RR )
6824nn0red 8398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  RR )
6968adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( K  +  J
)  e.  RR )
7067, 69lenltd 7283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( N  <_  ( K  +  J )  <->  -.  ( K  +  J
)  <  N )
)
7165, 70mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  <_  ( K  +  J ) )
7269, 67subge0d 7691 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( 0  <_  (
( K  +  J
)  -  N )  <-> 
N  <_  ( K  +  J ) ) )
7371, 72mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  0  <_  ( ( K  +  J )  -  N ) )
742zred 8539 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  e.  RR )
758nn0red 8398 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  e.  RR )
7621simp3d 953 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  <  N )
777simp3d 953 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  <  N )
7874, 75, 66, 66, 76, 77lt2addd 7723 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
)
7968, 66, 66ltsubaddd 7697 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  <  N  <->  ( K  +  J )  <  ( N  +  N )
) )
8078, 79mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
)
8180adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  <  N )
82 modqid 9420 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  /\  ( 0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
)  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )  ->  (
( ( K  +  J )  -  N
)  mod  N )  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8364, 57, 73, 81, 82syl22anc 1171 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8453, 61, 833eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  =  ( ( K  +  J )  -  N ) )
8524nn0zd 8537 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  +  J )  e.  ZZ )
8615nnzd 8538 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  N  e.  ZZ )
8785, 86zsubcld 8544 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ )
8887adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ZZ )
89 elnn0z 8434 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  NN0  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( K  +  J )  -  N
) ) )
9088, 73, 89sylanbrc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  NN0 )
9115adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  N  e.  NN )
92 elfzo0 9257 . . . . 5  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( ( K  +  J )  -  N )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  <  N
) )
9390, 91, 81, 92syl3anbrc 1123 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9434, 45subcld 7475 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  e.  CC )
9574, 76ltned 7280 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  K  =/=  N )
9634, 45, 95subne0d 7484 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( K  -  N )  =/=  0
)
9794, 35, 36, 96addneintr2d 7353 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  -  N )  +  J )  =/=  (
0  +  J ) )
9834, 36, 45addsubd 7496 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =  ( ( K  -  N
)  +  J ) )
9939eqcomd 2087 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  J  =  ( 0  +  J
) )
10097, 98, 993netr4d 2279 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  -  N )  =/=  J
)
101100adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  =/=  J )
102 eldifsn 3519 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  -  N )  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } )  <->  ( (
( K  +  J
)  -  N )  e.  ( 0..^ N )  /\  ( ( K  +  J )  -  N )  =/= 
J ) )
10393, 101, 102sylanbrc 408 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  -  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
10484, 103eqeltrd 2156 . 2  |-  ( ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  /\  -.  ( K  +  J
)  <  N )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N
)  e.  ( ( 0..^ N )  \  { J } ) )
105 zdclt 8495 . . . 4  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( K  +  J )  <  N )
106 exmiddc 778 . . . 4  |-  (DECID  ( K  +  J )  < 
N  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
107105, 106syl 14 . . 3  |-  ( ( ( K  +  J
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N
) )
10885, 86, 107syl2anc 403 . 2  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  <  N  \/  -.  ( K  +  J )  <  N ) )
10944, 104, 108mpjaodan 745 1  |-  ( ( J  e.  ( 0..^ N )  /\  K  e.  ( 1..^ N ) )  ->  ( ( K  +  J )  mod  N )  e.  ( ( 0..^ N ) 
\  { J }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246    \ cdif 2971   {csn 3400   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   CCcc 7030   RRcr 7031   0cc0 7032   1c1 7033    + caddc 7035    x. cmul 7037    < clt 7204    <_ cle 7205    - cmin 7335   -ucneg 7336   NNcn 8095   NN0cn0 8344   ZZcz 8421   QQcq 8774  ..^cfzo 9218    mod cmo 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-q 8775  df-rp 8805  df-fz 9095  df-fzo 9219  df-fl 9341  df-mod 9394
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