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Theorem moexexdc 2027
Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
moexexdc.1  |-  F/ y
ph
Assertion
Ref Expression
moexexdc  |-  (DECID  E. x ph  ->  ( ( E* x ph  /\  A. x E* y ps )  ->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) )

Proof of Theorem moexexdc
StepHypRef Expression
1 df-dc 777 . 2  |-  (DECID  E. x ph 
<->  ( E. x ph  \/  -.  E. x ph ) )
2 hbmo1 1981 . . . . . 6  |-  ( E* x ph  ->  A. x E* x ph )
3 hba1 1474 . . . . . . 7  |-  ( A. x E* y ps  ->  A. x A. x E* y ps )
4 hbe1 1425 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  A. x E. x ( ph  /\  ps ) )
54hbmo 1982 . . . . . . 7  |-  ( E* y E. x (
ph  /\  ps )  ->  A. x E* y E. x ( ph  /\  ps ) )
63, 5hbim 1478 . . . . . 6  |-  ( ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) )  ->  A. x
( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) )
72, 6hbim 1478 . . . . 5  |-  ( ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) ) )  ->  A. x ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
8 moexexdc.1 . . . . . . . 8  |-  F/ y
ph
98nfri 1453 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y ph )
109hbmo 1982 . . . . . . 7  |-  ( E* x ph  ->  A. y E* x ph )
11 mopick 2021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E* x ph  /\  E. x ( ph  /\  ps ) )  ->  ( ph  ->  ps ) )
1211ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( E* x ph  ->  ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  ( ph  ->  ps ) ) )
1312com3r 78 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E* x ph  ->  ( E. x (
ph  /\  ps )  ->  ps ) ) )
149, 10, 13alrimdh 1409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E* x ph  ->  A. y ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  ps )
) )
15 moim 2007 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( E. x
( ph  /\  ps )  ->  ps )  ->  ( E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) )
1615spsd 1472 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. x
( ph  /\  ps )  ->  ps )  ->  ( A. x E* y ps 
->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) )
1714, 16syl6 33 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
187, 17exlimih 1525 . . . 4  |-  ( E. x ph  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps 
->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) ) )
199hbex 1568 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ph  ->  A. y E. x ph )
20 exsimpl 1549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( ph  /\  ps )  ->  E. x ph )
2119, 20exlimih 1525 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. x (
ph  /\  ps )  ->  E. x ph )
2221con3i 595 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x ph  ->  -. 
E. y E. x
( ph  /\  ps )
)
23 mon 1972 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. y E. x
( ph  /\  ps )  ->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
)
2422, 23syl 14 . . . . . 6  |-  ( -. 
E. x ph  ->  E* y E. x (
ph  /\  ps )
)
2524a1d 22 . . . . 5  |-  ( -. 
E. x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) ) )
2625a1d 22 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ph  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\  ps ) ) ) )
2718, 26jaoi 669 . . 3  |-  ( ( E. x ph  \/  -.  E. x ph )  ->  ( E* x ph  ->  ( A. x E* y ps  ->  E* y E. x ( ph  /\ 
ps ) ) ) )
2827impd 251 . 2  |-  ( ( E. x ph  \/  -.  E. x ph )  ->  ( ( E* x ph  /\  A. x E* y ps )  ->  E* y E. x (
ph  /\  ps )
) )
291, 28sylbi 119 1  |-  (DECID  E. x ph  ->  ( ( E* x ph  /\  A. x E* y ps )  ->  E* y E. x
( ph  /\  ps )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662  DECID wdc 776   A.wal 1283   F/wnf 1390   E.wex 1422   E*wmo 1944
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947
This theorem is referenced by:  2moswapdc  2033
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