Theorem moexexdc 2081

Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
moexexdc.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
moexexdc	|- (DECID E. x ph -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )

Proof of Theorem moexexdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dc 820	. 2 |- (DECID E. x ph <-> ( E. x ph \/ -. E. x ph ) )
2		hbmo1 2035	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> A. x E* x ph )
3		hba1 1520	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y ps -> A. x A. x E* y ps )
4		hbe1 1471	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E. x ( ph /\ ps ) )
5	4	hbmo 2036	. . . . . . 7 |- ( E* y E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E* y E. x ( ph /\ ps ) )
6	3, 5	hbim 1524	. . . . . 6 |- ( ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) -> A. x ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
7	2, 6	hbim 1524	. . . . 5 |- ( ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) -> A. x ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
8		moexexdc.1	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
9	8	nfri 1499	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ph )
10	9	hbmo 2036	. . . . . . 7 |- ( E* x ph -> A. y E* x ph )
11		mopick 2075	. . . . . . . . 9 |- ( ( E* x ph /\ E. x ( ph /\ ps ) ) -> ( ph -> ps ) )
12	11	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( E* x ph -> ( E. x ( ph /\ ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
13	12	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E* x ph -> ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) ) )
14	9, 10, 13	alrimdh 1455	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E* x ph -> A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) ) )
15		moim 2061	. . . . . . 7 |- ( A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) -> ( E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
16	15	spsd 1518	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
17	14, 16	syl6 33	. . . . 5 |- ( ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
18	7, 17	exlimih 1572	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
19	9	hbex 1615	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ph -> A. y E. x ph )
20		exsimpl 1596	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ph )
21	19, 20	exlimih 1572	. . . . . . . 8 |- ( E. y E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ph )
22	21	con3i 621	. . . . . . 7 |- ( -. E. x ph -> -. E. y E. x ( ph /\ ps ) )
23		mon 2026	. . . . . . 7 |- ( -. E. y E. x ( ph /\ ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( -. E. x ph -> E* y E. x ( ph /\ ps ) )
25	24	a1d 22	. . . . 5 |- ( -. E. x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
26	25	a1d 22	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
27	18, 26	jaoi 705	. . 3 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
28	27	impd 252	. 2 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
29	1, 28	sylbi 120	1 |- (DECID E. x ph -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   A.wal 1329   F/wnf 1436   E.wex 1468   E*wmo 1998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001

This theorem is referenced by:  2moswapdc  2087