Theorem monoord2 10250

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord2.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord2	|- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		monoord2.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
3	2	renegcld 8142	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u ( F ` k ) e. RR )
4		eqid 2139	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) )
5	3, 4	fmptd 5574	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) : ( M ... N ) --> RR )
6	5	ffvelrnda 5555	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) e. RR )
7		monoord2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
8	7	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
9		oveq1 5781	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
10	9	fveq2d 5425	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
11		fveq2 5421	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
12	10, 11	breq12d 3942	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) ) )
13	12	cbvralv 2654	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
14	8, 13	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
15	14	r19.21bi 2520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
16		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
17	16	eleq1d 2208	. . . . . . . 8 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
18	2	ralrimiva 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
19	18	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
20		fzp1elp1 9855	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
21	20	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
22		eluzelz 9335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
24	23	zcnd 9174	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
25		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
26		npcan 7971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
27	24, 25, 26	sylancl 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
28	27	oveq2d 5790	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
29	28	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
30	21, 29	eleqtrd 2218	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
31	17, 19, 30	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
32	11	eleq1d 2208	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
33		fzssp1 9847	. . . . . . . . . 10 |- ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
34	33, 28	sseqtrid 3147	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
35	34	sselda 3097	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
36	32, 19, 35	rspcdva 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
37	31, 36	lenegd 8286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) <-> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
38	15, 37	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
39	36	renegcld 8142	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) e. RR )
40	11	negeqd 7957	. . . . . . 7 |- ( k = n -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` n ) )
41	40, 4	fvmptg 5497	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` n ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
42	35, 39, 41	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
43	31	renegcld 8142	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
44	16	negeqd 7957	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
45	44, 4	fvmptg 5497	. . . . . 6 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
46	30, 43, 45	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
47	38, 42, 46	3brtr4d 3960	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) )
48	1, 6, 47	monoord 10249	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) )
49		eluzfz1 9811	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
50	1, 49	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
51		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
52	51	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
53	52, 18, 50	rspcdva 2794	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
54	53	renegcld 8142	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` M ) e. RR )
55	51	negeqd 7957	. . . . 5 |- ( k = M -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` M ) )
56	55, 4	fvmptg 5497	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` M ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
57	50, 54, 56	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
58		eluzfz2 9812	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
59	1, 58	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
60		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
61	60	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` N ) e. RR ) )
62	61, 18, 59	rspcdva 2794	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
63	62	renegcld 8142	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` N ) e. RR )
64	60	negeqd 7957	. . . . 5 |- ( k = N -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` N ) )
65	64, 4	fvmptg 5497	. . . 4 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
66	59, 63, 65	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
67	48, 57, 66	3brtr3d 3959	. 2 |- ( ph -> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) )
68	62, 53	lenegd 8286	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) <_ ( F ` M ) <-> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) ) )
69	67, 68	mpbird 166	1 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   <_ cle 7801   - cmin 7933   -ucneg 7934   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by: (None)