Theorem monoord2 9552

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord2.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord2	|- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		monoord2.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
3	2	renegcld 7551	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u ( F ` k ) e. RR )
4		eqid 2082	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) )
5	3, 4	fmptd 5354	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) : ( M ... N ) --> RR )
6	5	ffvelrnda 5334	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) e. RR )
7		monoord2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
8	7	ralrimiva 2435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
9		oveq1 5550	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
10	9	fveq2d 5213	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
11		fveq2 5209	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
12	10, 11	breq12d 3806	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) ) )
13	12	cbvralv 2578	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
14	8, 13	sylib 120	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
15	14	r19.21bi 2450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
16		fzp1elp1 9168	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
17	16	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
18		eluzelz 8709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	19	zcnd 8551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
21		ax-1cn 7131	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
22		npcan 7384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
23	20, 21, 22	sylancl 404	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
24	23	oveq2d 5559	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
25	24	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
26	17, 25	eleqtrd 2158	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
27	2	ralrimiva 2435	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
28	27	adantr 270	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
29		fveq2 5209	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2148	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
31	30	rspcv 2698	. . . . . . . 8 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
32	26, 28, 31	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
33		fzssp1 9161	. . . . . . . . . 10 |- ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
34	33, 24	syl5sseq 3048	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
35	34	sselda 3000	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
36	11	eleq1d 2148	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
37	36	rspcv 2698	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` n ) e. RR ) )
38	35, 28, 37	sylc 61	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
39	32, 38	lenegd 7691	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) <-> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
40	15, 39	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
41	38	renegcld 7551	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) e. RR )
42	11	negeqd 7370	. . . . . . 7 |- ( k = n -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` n ) )
43	42, 4	fvmptg 5280	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` n ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
44	35, 41, 43	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
45	32	renegcld 7551	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
46	29	negeqd 7370	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
47	46, 4	fvmptg 5280	. . . . . 6 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
48	26, 45, 47	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
49	40, 44, 48	3brtr4d 3823	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) )
50	1, 6, 49	monoord 9551	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) )
51		eluzfz1 9126	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
53		fveq2 5209	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
54	53	eleq1d 2148	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
55	54	rspcv 2698	. . . . . 6 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` M ) e. RR ) )
56	52, 27, 55	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
57	56	renegcld 7551	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` M ) e. RR )
58	53	negeqd 7370	. . . . 5 |- ( k = M -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` M ) )
59	58, 4	fvmptg 5280	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` M ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
60	52, 57, 59	syl2anc 403	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
61		eluzfz2 9127	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
62	1, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
63		fveq2 5209	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
64	63	eleq1d 2148	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` N ) e. RR ) )
65	64	rspcv 2698	. . . . . 6 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` N ) e. RR ) )
66	62, 27, 65	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
67	66	renegcld 7551	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` N ) e. RR )
68	63	negeqd 7370	. . . . 5 |- ( k = N -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` N ) )
69	68, 4	fvmptg 5280	. . . 4 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
70	62, 67, 69	syl2anc 403	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
71	50, 60, 70	3brtr3d 3822	. 2 |- ( ph -> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) )
72	66, 56	lenegd 7691	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) <_ ( F ` M ) <-> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) ) )
73	71, 72	mpbird 165	1 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   class class class wbr 3793   |-> cmpt 3847   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   1c1 7044   + caddc 7046   <_ cle 7216   - cmin 7346   -ucneg 7347   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ...cfz 9105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106

This theorem is referenced by: (None)