ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2ex Unicode version

Theorem mpt2ex 5867
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mpt2ex.1  |-  A  e. 
_V
mpt2ex.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mpt2ex  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Distinct variable groups:    x, y, A   
y, B
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem mpt2ex
StepHypRef Expression
1 mpt2ex.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 mpt2ex.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
32rgenw 2419 . 2  |-  A. x  e.  A  B  e.  _V
4 eqid 2082 . . 3  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
54mpt2exxg 5864 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  (
x  e.  A , 
y  e.  B  |->  C )  e.  _V )
61, 3, 5mp2an 417 1  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1434   A.wral 2349   _Vcvv 2602    |-> cmpt2 5545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator