ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2exg Unicode version

Theorem mpt2exg 5885
Description: Existence of an operation class abstraction (special case). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
mpt2exg  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y   
y, B, x
Allowed substitution hints:    C( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exg
StepHypRef Expression
1 elex 2619 . . 3  |-  ( B  e.  S  ->  B  e.  _V )
2 elex 2619 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  _V )
32ralrimivw 2440 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
41, 3syl 14 . 2  |-  ( B  e.  S  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
5 mpt2exg.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
65mpt2exxg 5884 . 2  |-  ( ( A  e.  R  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
74, 6sylan2 280 1  |-  ( ( A  e.  R  /\  B  e.  S )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   _Vcvv 2610    |-> cmpt2 5565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819
This theorem is referenced by:  mpt2exga  5886
  Copyright terms: Public domain W3C validator