ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpt2xopovel Unicode version

Theorem mpt2xopovel 5887
Description: Element of the value of an operation given by a maps-to rule, where the first argument is a pair and the base set of the second argument is the first component of the first argument. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 10-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2xopoveq.f  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  ( 1st `  x )  |->  { n  e.  ( 1st `  x )  |  ph } )
Assertion
Ref Expression
mpt2xopovel  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  <->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) ) )
Distinct variable groups:    n, K, x, y    n, V, x, y    n, W, x, y    n, X, x, y    n, Y, x, y    x, N, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, n)    F( x, y, n)    N( n)

Proof of Theorem mpt2xopovel
StepHypRef Expression
1 mpt2xopoveq.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  ( 1st `  x )  |->  { n  e.  ( 1st `  x )  |  ph } )
21mpt2xopn0yelv 5885 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  ->  K  e.  V ) )
32pm4.71rd 380 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  <->  ( K  e.  V  /\  N  e.  ( <. V ,  W >. F K ) ) ) )
41mpt2xopoveq 5886 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y
)  /\  K  e.  V )  ->  ( <. V ,  W >. F K )  =  {
n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph }
)
54eleq2d 2123 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y
)  /\  K  e.  V )  ->  ( N  e.  ( <. V ,  W >. F K )  <->  N  e.  { n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph } ) )
6 nfcv 2194 . . . . . . 7  |-  F/_ n V
76elrabsf 2824 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph }  <->  ( N  e.  V  /\  [. N  /  n ]. [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph ) )
8 sbccom 2861 . . . . . . . 8  |-  ( [. N  /  n ]. [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. N  /  n ]. [. K  /  y ]. ph )
9 sbccom 2861 . . . . . . . . 9  |-  ( [. N  /  n ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. K  / 
y ]. [. N  /  n ]. ph )
109sbcbii 2845 . . . . . . . 8  |-  ( [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. N  /  n ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
118, 10bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( [. N  /  n ]. [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph  <->  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
1211anbi2i 438 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  V  /\  [. N  /  n ]. [.
<. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph )  <->  ( N  e.  V  /\  [.
<. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
)
137, 12bitri 177 . . . . 5  |-  ( N  e.  { n  e.  V  |  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. ph }  <->  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) )
145, 13syl6bb 189 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y
)  /\  K  e.  V )  ->  ( N  e.  ( <. V ,  W >. F K )  <->  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) ) )
1514pm5.32da 433 . . 3  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( ( K  e.  V  /\  N  e.  ( <. V ,  W >. F K ) )  <-> 
( K  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
) ) )
16 3anass 900 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [.
<. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )  <->  ( K  e.  V  /\  ( N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
) )
1715, 16syl6bbr 191 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( ( K  e.  V  /\  N  e.  ( <. V ,  W >. F K ) )  <-> 
( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph )
) )
183, 17bitrd 181 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  W  e.  Y )  ->  ( N  e.  (
<. V ,  W >. F K )  <->  ( K  e.  V  /\  N  e.  V  /\  [. <. V ,  W >.  /  x ]. [. K  /  y ]. [. N  /  n ]. ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   {crab 2327   _Vcvv 2574   [.wsbc 2787   <.cop 3406   ` cfv 4930  (class class class)co 5540    |-> cmpt2 5542   1stc1st 5793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator