ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mptexg Unicode version

Theorem mptexg 5613
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 5131 . 2  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  B )
2 eqid 2117 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
32dmmptss 5005 . . 3  |-  dom  (
x  e.  A  |->  B )  C_  A
4 ssexg 4037 . . 3  |-  ( ( dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  A  /\  A  e.  V
)  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
53, 4mpan 420 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
6 funex 5611 . 2  |-  ( ( Fun  ( x  e.  A  |->  B )  /\  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
_V )
71, 5, 6sylancr 410 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    C_ wss 3041    |-> cmpt 3959   dom cdm 4509   Fun wfun 5087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  mptex  5614  offval  5957  abrexexg  5984  xpexgALT  5999  offval3  6000  iunon  6149  mptelixpg  6596  updjud  6935  mkvprop  7000  iseqf1olemqpcl  10237  seq3f1olemqsum  10241  seq3f1olemstep  10242  negfi  10967  climmpt  11037  restval  12053  ntrfval  12196  clsfval  12197  neifval  12236  cnprcl2k  12302  upxp  12368
  Copyright terms: Public domain W3C validator