Theorem mul2neg 7621

Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mul2neg	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )

Proof of Theorem mul2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 7427	. . 3 |- ( B e. CC -> -u B e. CC )
2		mulneg12 7620	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ -u B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. -u -u B ) )
3	1, 2	sylan2 280	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. -u -u B ) )
4		negneg 7477	. . . 4 |- ( B e. CC -> -u -u B = B )
5	4	adantl 271	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u -u B = B )
6	5	oveq2d 5579	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. -u -u B ) = ( A x. B ) )
7	3, 6	eqtrd 2115	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. -u B ) = ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434  (class class class)co 5563   CCcc 7093   x. cmul 7100   -ucneg 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sub 7400  df-neg 7401

This theorem is referenced by:  mulsub  7624  mulsub2  7625  mul2negi  7629  mul2negd  7636  mullt0  7703  recexre  7797  zmulcl  8537  sqneg  9684  absneg  10137  negdvdsb  10419