ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Unicode version

Theorem mulcanenq 6541
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 915 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
2 simp2 916 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  B  e.  N. )
3 simp3 917 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  N. )
4 mulcompig 6487 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
54adantl 266 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( x  .N  y )  =  ( y  .N  x ) )
6 mulasspig 6488 . . . 4  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
76adantl 266 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .N  y )  .N  z )  =  ( x  .N  (
y  .N  z ) ) )
81, 2, 3, 5, 7caov32d 5709 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( ( A  .N  C )  .N  B ) )
9 mulclpi 6484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
10 mulclpi 6484 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
119, 10anim12i 325 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( ( A  .N  B )  e. 
N.  /\  ( A  .N  C )  e.  N. ) )
12 simpr 107 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  N.  /\  C  e. 
N. ) )
1312an4s 530 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( B  e.  N.  /\  C  e. 
N. ) )
1411, 13jca 294 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( (
( A  .N  B
)  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
) )
15143impdi 1201 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( ( A  .N  B )  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
) )
16 enqbreq 6512 . . 3  |-  ( ( ( ( A  .N  B )  e.  N.  /\  ( A  .N  C
)  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >.  <->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .N  C
)  .N  B ) ) )
1715, 16syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >.  <-> 
( ( A  .N  B )  .N  C
)  =  ( ( A  .N  C )  .N  B ) ) )
188, 17mpbird 160 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   N.cnpi 6428    .N cmi 6430    ~Q ceq 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-ni 6460  df-mi 6462  df-enq 6503
This theorem is referenced by:  mulcanenqec  6542
  Copyright terms: Public domain W3C validator