Theorem mulclnq 6531

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6503	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5546	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2122	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 5547	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q B ) )
5	4	eleq1d 2122	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		mulpipqqs 6528	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 6483	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 6483	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	7, 8	anim12i 325	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
10	9	an4s 530	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		opelxpi 4403	. . . . 5 |- ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 6515	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6190	. . . . 5 |- ( <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	6, 14	eqeltrd 2130	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6224	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
17	16, 1	syl6eleqr 2147	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 101   = wceq 1259   e. wcel 1409   <.cop 3405   X. cxp 4370  (class class class)co 5539   [cec 6134   /.cqs 6135   N.cnpi 6427   .N cmi 6429   ~Q ceq 6434   Q.cnq 6435   .Q cmq 6438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338

This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-mqqs 6505

This theorem is referenced by:  halfnqq  6565  prarloclemarch  6573  prarloclemarch2  6574  ltrnqg  6575  prarloclemlt  6648  prarloclemlo  6649  prarloclemcalc  6657  addnqprllem  6682  addnqprulem  6683  addnqprl  6684  addnqpru  6685  mpvlu  6694  dmmp  6696  appdivnq  6718  prmuloclemcalc  6720  prmuloc  6721  mulnqprl  6723  mulnqpru  6724  mullocprlem  6725  mullocpr  6726  mulclpr  6727  mulnqprlemrl  6728  mulnqprlemru  6729  mulnqprlemfl  6730  mulnqprlemfu  6731  mulnqpr  6732  mulassprg  6736  distrlem1prl  6737  distrlem1pru  6738  distrlem4prl  6739  distrlem4pru  6740  distrlem5prl  6741  distrlem5pru  6742  1idprl  6745  1idpru  6746  recexprlem1ssl  6788  recexprlem1ssu  6789  recexprlemss1l  6790  recexprlemss1u  6791