Theorem mulcmpblnq0 7252

Description: Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnq0	|- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )

Proof of Theorem mulcmpblnq0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5783	. 2 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
2		nnmcl 6377	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ F e. om ) -> ( A .o F ) e. om )
3		mulpiord 7125	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
4		mulclpi 7136	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
5	3, 4	eqeltrrd 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
6	2, 5	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. om /\ F e. om ) /\ ( B e. N. /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
7	6	an4s 577	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) )
8		nnmcl 6377	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ R e. om ) -> ( C .o R ) e. om )
9		mulpiord 7125	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
10		mulclpi 7136	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
11	9, 10	eqeltrrd 2217	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
12	8, 11	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. om /\ R e. om ) /\ ( D e. N. /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
13	12	an4s 577	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) )
14	7, 13	anim12i 336	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) /\ ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
15	14	an4s 577	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) )
16		enq0breq 7244	. . . 4 |- ( ( ( ( A .o F ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( C .o R ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) ) )
18		simplll 522	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
19		simprll 526	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
20		simplrr 525	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
21		pinn 7117	. . . . . 6 |- ( D e. N. -> D e. om )
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
23		nnmcom 6385	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
24	23	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
25		nnmass 6383	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
26	25	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
27		simprrr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
28		pinn 7117	. . . . . 6 |- ( S e. N. -> S e. om )
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
30		nnmcl 6377	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
31	30	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
32	18, 19, 22, 24, 26, 29, 31	caov4d 5955	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) )
33		simpllr 523	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
34		pinn 7117	. . . . . 6 |- ( B e. N. -> B e. om )
35	33, 34	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
36		simprlr 527	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
37		pinn 7117	. . . . . 6 |- ( G e. N. -> G e. om )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
39		simplrl 524	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
40		simprrl 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
41	35, 38, 39, 24, 26, 40, 31	caov4d 5955	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) )
42	32, 41	eqeq12d 2154	. . 3 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( C .o R ) ) <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
43	17, 42	bitrd 187	. 2 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( A .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o R ) ) ) )
44	1, 43	syl5ibr 155	1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( A .o F ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( C .o R ) , ( D .o S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   omcom 4504  (class class class)co 5774   .o comu 6311   N.cnpi 7080   .N cmi 7082   ~_Q0 ceq0 7094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7112  df-mi 7114  df-enq0 7232

This theorem is referenced by:  mulnq0mo  7256