Theorem mulcn2 11081

Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulcn2	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Distinct variable groups:   v, u, y, z, A   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 9469	. . . 4 |- ( A e. RR+ -> ( A / 2 ) e. RR+ )
2	1	3ad2ant1 1002	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
3		abscl 10823	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> ( abs ` C ) e. RR )
4	3	3ad2ant3 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` C ) e. RR )
5		abscl 10823	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
6	5	3ad2ant2 1003	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7		1re 7765	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
8		readdcl 7746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
9	6, 7, 8	sylancl 409	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
10		absge0 10832	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
11		0lt1 7889	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 1
12		addgegt0 8211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` B ) /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
13	12	an4s 577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
14	7, 11, 13	mpanr12 435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
15	5, 10, 14	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
16	15	3ad2ant2 1003	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` B ) + 1 ) )
17	9, 16	elrpd 9481	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
18	2, 17	rpdivcld 9501	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ )
19	18	rpred 9483	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
20	4, 19	readdcld 7795	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
21		absge0 10832	. . . . . 6 |- ( C e. CC -> 0 <_ ( abs ` C ) )
22	21	3ad2ant3 1004	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 <_ ( abs ` C ) )
23		elrp 9443	. . . . . 6 |- ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ <-> ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
24		addgegt0 8211	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( abs ` C ) /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
25	24	an4s 577	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
26	23, 25	sylan2b 285	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` C ) ) /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
27	4, 22, 18, 26	syl21anc 1215	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> 0 < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
28	20, 27	elrpd 9481	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
29	2, 28	rpdivcld 9501	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ )
30		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> u e. CC )
31		simpl2 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> B e. CC )
32	30, 31	subcld 8073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u - B ) e. CC )
33	32	abscld 10953	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( u - B ) ) e. RR )
34	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( A / 2 ) e. RR )
36	28	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR+ )
37	33, 35, 36	ltmuldivd 9531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
38		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> v e. CC )
39		simpl3 986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> C e. CC )
40	38, 39	abs2difd 10969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
41	38	abscld 10953	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` v ) e. RR )
42	4	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
43	41, 42	resubcld 8143	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR )
44	38, 39	subcld 8073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( v - C ) e. CC )
45	44	abscld 10953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
46	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR )
47		lelttr 7852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) e. RR /\ ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
48	43, 45, 46, 47	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) <_ ( abs ` ( v - C ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
49	40, 48	mpand 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
50	41, 42, 46	ltsubadd2d 8305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` v ) - ( abs ` C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) <-> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
51	49, 50	sylibd 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
52	20	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR )
53		ltle 7851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
54	41, 52, 53	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) < ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
55	51, 54	syld 45	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
56	32	absge0d 10956	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) )
57		lemul2a 8617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) /\ ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
58	57	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` v ) e. RR /\ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( u - B ) ) ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
59	41, 52, 33, 56, 58	syl112anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` v ) <_ ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
60	33, 41	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR )
61	33, 52	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR )
62		lelttr 7852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) e. RR /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
63	60, 61, 35, 62	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
64	63	expd 256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) <_ ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
65	55, 59, 64	3syld 57	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
66	65	com23 78	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
67	37, 66	sylbird 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
68	67	impd 252	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) ) )
69	32, 38	absmuld 10966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) )
70	30, 31, 38	subdird 8177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( u - B ) x. v ) = ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) )
71	70	fveq2d 5425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( u - B ) x. v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
72	69, 71	eqtr3d 2174	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) = ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) )
73	72	breq1d 3939	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) x. ( abs ` v ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
74	68, 73	sylibd 148	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
75	17	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR+ )
76	45, 35, 75	ltmuldiv2d 9532	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
77	31, 38, 39	subdid 8176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. ( v - C ) ) = ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) )
78	77	fveq2d 5425	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) )
79	31, 44	absmuld 10966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( B x. ( v - C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
80	78, 79	eqtr3d 2174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) = ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
81	31	abscld 10953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
82	81	lep1d 8689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) )
83	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR )
84		abscl 10823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( abs ` ( v - C ) ) e. RR )
85		absge0 10832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v - C ) e. CC -> 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) )
86	84, 85	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v - C ) e. CC -> ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) )
87		lemul1a 8616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) /\ ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
88	87	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( ( abs ` ( v - C ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( v - C ) ) ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
89	86, 88	syl3an3 1251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) + 1 ) e. RR /\ ( v - C ) e. CC ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
90	81, 83, 44, 89	syl3anc 1216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) <_ ( ( abs ` B ) + 1 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) ) )
91	82, 90	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
92	80, 91	eqbrtrd 3950	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) )
93	31, 38	mulcld 7786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. v ) e. CC )
94	31, 39	mulcld 7786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
95	93, 94	subcld 8073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) e. CC )
96	95	abscld 10953	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR )
97	83, 45	remulcld 7796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR )
98		lelttr 7852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) e. RR /\ ( A / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
99	96, 97, 35, 98	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) <_ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) /\ ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
100	92, 99	mpand 425	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( ( abs ` B ) + 1 ) x. ( abs ` ( v - C ) ) ) < ( A / 2 ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
101	76, 100	sylbird 169	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
102	101	adantld 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) )
103	74, 102	jcad 305	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) ) )
104		mulcl 7747	. . . . . 6 |- ( ( u e. CC /\ v e. CC ) -> ( u x. v ) e. CC )
105	104	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( u x. v ) e. CC )
106		simpl1 984	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR+ )
107	106	rpred 9483	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> A e. RR )
108		abs3lem 10883	. . . . 5 |- ( ( ( ( u x. v ) e. CC /\ ( B x. C ) e. CC ) /\ ( ( B x. v ) e. CC /\ A e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
109	105, 94, 93, 107, 108	syl22anc 1217	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. v ) ) ) < ( A / 2 ) /\ ( abs ` ( ( B x. v ) - ( B x. C ) ) ) < ( A / 2 ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
110	103, 109	syld 45	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) /\ ( u e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
111	110	ralrimivva 2514	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
112		breq2 3933	. . . . . 6 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( u - B ) ) < y <-> ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) ) )
113	112	anbi1d 460	. . . . 5 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) ) )
114	113	imbi1d 230	. . . 4 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
115	114	2ralbidv 2459	. . 3 |- ( y = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
116		breq2 3933	. . . . . 6 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( abs ` ( v - C ) ) < z <-> ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) )
117	116	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) <-> ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) )
118	117	imbi1d 230	. . . 4 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
119	118	2ralbidv 2459	. . 3 |- ( z = ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) -> ( A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) <-> A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) )
120	115, 119	rspc2ev 2804	. 2 |- ( ( ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) e. RR+ /\ ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) e. RR+ /\ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` C ) + ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) ) /\ ( abs ` ( v - C ) ) < ( ( A / 2 ) / ( ( abs ` B ) + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )
121	29, 18, 111, 120	syl3anc 1216	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> E. y e. RR+ E. z e. RR+ A. u e. CC A. v e. CC ( ( ( abs ` ( u - B ) ) < y /\ ( abs ` ( v - C ) ) < z ) -> ( abs ` ( ( u x. v ) - ( B x. C ) ) ) < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   2c2 8771   RR+crp 9441   abscabs 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771

This theorem is referenced by:  climmul  11096  mulcncntop  12723  mulc1cncf  12745  mulcncf  12760