ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 Unicode version

Theorem mulcomnq0 6712
Description: Multiplication of non-negative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6677 . 2  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5550 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
3 oveq2 5551 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) )
42, 3eqeq12d 2096 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) ) )
5 oveq2 5551 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
6 oveq1 5550 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( B ·Q0 
A ) )
75, 6eqeq12d 2096 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A )  <->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) ) )
8 nnmcom 6133 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x ) )
98ad2ant2r 493 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  z )  =  ( z  .o  x ) )
10 pinn 6561 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
11 pinn 6561 . . . . . 6  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
12 nnmcom 6133 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1310, 11, 12syl2an 283 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1413ad2ant2l 492 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  =  ( w  .o  y ) )
15 opeq12 3580 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>.  =  <. ( z  .o  x ) ,  ( w  .o  y
) >. )
1615eceq1d 6208 . . . 4  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
179, 14, 16syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
18 mulnnnq0 6702 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
19 mulnnnq0 6702 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2019ancoms 264 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2117, 18, 203eqtr4d 2124 . 2  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) )
221, 4, 7, 212ecoptocl 6260 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3409   omcom 4339  (class class class)co 5543    .o comu 6063   [cec 6170   N.cnpi 6524   ~Q0 ceq0 6538  Q0cnq0 6539   ·Q0 cmq0 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-mq0 6680
This theorem is referenced by:  distnq0r  6715
  Copyright terms: Public domain W3C validator