Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomprg Unicode version

Theorem mulcomprg 6832
 Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomprg

Proof of Theorem mulcomprg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prop 6727 . . . . . . . . 9
2 elprnql 6733 . . . . . . . . 9
31, 2sylan 277 . . . . . . . 8
4 prop 6727 . . . . . . . . . . . . 13
5 elprnql 6733 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5sylan 277 . . . . . . . . . . . 12
7 mulcomnqg 6635 . . . . . . . . . . . . 13
87eqeq2d 2093 . . . . . . . . . . . 12
96, 8sylan2 280 . . . . . . . . . . 11
109anassrs 392 . . . . . . . . . 10
1110rexbidva 2366 . . . . . . . . 9
1211ancoms 264 . . . . . . . 8
133, 12sylan2 280 . . . . . . 7
1413anassrs 392 . . . . . 6
1514rexbidva 2366 . . . . 5
16 rexcom 2519 . . . . 5
1715, 16syl6bb 194 . . . 4
1817rabbidv 2594 . . 3
19 elprnqu 6734 . . . . . . . . 9
201, 19sylan 277 . . . . . . . 8
21 elprnqu 6734 . . . . . . . . . . . . 13
224, 21sylan 277 . . . . . . . . . . . 12
2322, 8sylan2 280 . . . . . . . . . . 11
2423anassrs 392 . . . . . . . . . 10
2524rexbidva 2366 . . . . . . . . 9
2625ancoms 264 . . . . . . . 8
2720, 26sylan2 280 . . . . . . 7
2827anassrs 392 . . . . . 6
2928rexbidva 2366 . . . . 5
30 rexcom 2519 . . . . 5
3129, 30syl6bb 194 . . . 4
3231rabbidv 2594 . . 3
3318, 32opeq12d 3586 . 2
34 mpvlu 6791 . . 3
3534ancoms 264 . 2
36 mpvlu 6791 . 2
3733, 35, 363eqtr4rd 2125 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434  wrex 2350  crab 2353  cop 3409  cfv 4932  (class class class)co 5543  c1st 5796  c2nd 5797  cnq 6532   cmq 6535  cnp 6543   cmp 6546 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-mqqs 6602  df-inp 6718  df-imp 6721 This theorem is referenced by:  ltmprr  6894  mulcmpblnrlemg  6979  mulcomsrg  6996  mulasssrg  6997  m1m1sr  7000  recexgt0sr  7012  mulgt0sr  7016  mulextsr1lem  7018  recidpirqlemcalc  7087
 Copyright terms: Public domain W3C validator