ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulge0 Unicode version

Theorem mulge0 8349
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 remulcl 7716 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  B
)  e.  RR )
21ad2ant2r 500 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  B )  e.  RR )
3 0re 7734 . . . 4  |-  0  e.  RR
4 ltnsym2 7822 . . . 4  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  -.  ( ( A  x.  B )  <  0  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) )
52, 3, 4sylancl 409 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  -.  (
( A  x.  B
)  <  0  /\  0  <  ( A  x.  B ) ) )
6 orc 686 . . . . . 6  |-  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  (
( A  x.  B
)  <  0  \/  0  <  ( A  x.  B ) ) )
7 reaplt 8318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  <->  ( ( A  x.  B )  <  0  \/  0  < 
( A  x.  B
) ) ) )
82, 3, 7sylancl 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B ) #  0 
<->  ( ( A  x.  B )  <  0  \/  0  <  ( A  x.  B ) ) ) )
96, 8syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  ( A  x.  B ) #  0 ) )
10 simplll 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  A  e.  RR )
11 simplrl 509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  B  e.  RR )
12 recn 7721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
13 recn 7721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
14 mulap0r 8345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  ( A  x.  B ) #  0 )  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) )
1513, 14syl3an1 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC  /\  ( A  x.  B ) #  0 )  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) )
1612, 15syl3an2 1235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  x.  B ) #  0 )  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) )
17163expia 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) ) )
1817ad2ant2r 500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  ->  ( A #  0  /\  B #  0 ) ) )
1918imp 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( A #  0  /\  B #  0 ) )
2019simpld 111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  A #  0 )
21 reaplt 8318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
223, 21mpan2 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  < 
A ) ) )
2322ad3antrrr 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( A #  0  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
2420, 23mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( A  <  0  \/  0  <  A ) )
25 lenlt 7808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
263, 25mpan 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
2726biimpa 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -.  A  <  0
)
2827ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  -.  A  <  0
)
29 biorf 718 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  <  0  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( 0  <  A  <->  ( A  <  0  \/  0  <  A ) ) )
3124, 30mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
0  <  A )
3219simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  B #  0 )
33 reaplt 8318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B #  0  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
343, 33mpan2 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B #  0  <->  ( B  <  0  \/  0  < 
B ) ) )
3534ad2antrl 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B #  0 
<->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
3635adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( B #  0  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
3732, 36mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( B  <  0  \/  0  <  B ) )
38 lenlt 7808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  -.  B  <  0 ) )
393, 38mpan 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  (
0  <_  B  <->  -.  B  <  0 ) )
4039biimpa 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  ->  -.  B  <  0
)
4140ad2antlr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  ->  -.  B  <  0
)
42 biorf 718 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  <  0  -> 
( 0  <  B  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
4341, 42syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
( 0  <  B  <->  ( B  <  0  \/  0  <  B ) ) )
4437, 43mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
0  <  B )
4510, 11, 31, 44mulgt0d 7853 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  /\  ( A  x.  B
) #  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  B ) )
4645ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B ) #  0  ->  0  <  ( A  x.  B )
) )
479, 46syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  0  <  ( A  x.  B ) ) )
4847ancld 323 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  ->  ( ( A  x.  B )  <  0  /\  0  < 
( A  x.  B
) ) ) )
495, 48mtod 637 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  -.  ( A  x.  B )  <  0 )
50 lenlt 7808 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( A  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( A  x.  B
)  <->  -.  ( A  x.  B )  <  0
) )
513, 2, 50sylancr 410 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( 0  <_  ( A  x.  B )  <->  -.  ( A  x.  B )  <  0 ) )
5249, 51mpbird 166 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  0  <_  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   CCcc 7586   RRcr 7587   0cc0 7588    x. cmul 7593    < clt 7768    <_ cle 7769   # cap 8311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312
This theorem is referenced by:  mulge0i  8350  mulge0d  8351  ge0mulcl  9733  expge0  10297  bernneq  10380  sqrtmul  10775  amgm2  10858
  Copyright terms: Public domain W3C validator