Theorem mulgt0d 7885

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
mulgt0d.3	|- ( ph -> 0 < A )
mulgt0d.4	|- ( ph -> 0 < B )

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	|- ( ph -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		mulgt0d.3	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
3		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		mulgt0d.4	. 2 |- ( ph -> 0 < B )
5		mulgt0 7839	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> 0 < ( A x. B ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1217	1 |- ( ph -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   x. cmul 7625   < clt 7800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-mulrcl 7719  ax-rnegex 7729  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805

This theorem is referenced by:  ltmul1a  8353  mulge0  8381  recgt0  8608  prodgt0gt0  8609  prodge0  8612  modqmulnn  10115  modqdi  10165  cos12dec  11474  tangtx  12919