Theorem mulid2 7757

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 7756 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	|- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7706	. . 3 |- 1 e. CC
2		mulcom 7742	. . 3 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 x. A ) = ( A x. 1 ) )
3	1, 2	mpan 420	. 2 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = ( A x. 1 ) )
4		mulid1 7756	. 2 |- ( A e. CC -> ( A x. 1 ) = A )
5	3, 4	eqtrd 2170	1 |- ( A e. CC -> ( 1 x. A ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614   x. cmul 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-mulcl 7711  ax-mulcom 7714  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-1rid 7720  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  mulid2i  7762  mulid2d  7777  muladd11  7888  1p1times  7889  mulm1  8155  div1  8456  recdivap  8471  divdivap2  8477  conjmulap  8482  expp1  10293  recan  10874  arisum  11260  geo2sum  11276  prodrbdclem  11333  demoivreALT  11469  gcdadd  11662  gcdid  11663