Theorem mulnnnq0 7251

Description: Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulnnnq0	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Proof of Theorem mulnnnq0

Dummy variables x y z w v u t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4566	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
2		enq0ex 7240	. . . . 5 |- ~Q0 e. _V
3	2	ecelqsi 6476	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
4	1, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		opelxpi 4566	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( om X. N. ) )
6	2	ecelqsi 6476	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( om X. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
8	4, 7	anim12i 336	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
9		eqid 2137	. . . 4 |- [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0
10		eqid 2137	. . . 4 |- [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0
11	9, 10	pm3.2i 270	. . 3 |- ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
12		eqid 2137	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0
13		opeq12 3702	. . . . . 6 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. w , v >. = <. A , B >. )
14		eceq1 6457	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 )
15	14	eqeq2d 2149	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 ) )
16	15	anbi1d 460	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
17		vex 2684	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
18		vex 2684	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
19	17, 18	opth 4154	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. <-> ( w = A /\ v = B ) )
20		oveq1 5774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = A -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
21	20	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( w .o C ) = ( A .o C ) )
22		oveq1 5774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = B -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
23	22	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( v .o D ) = ( B .o D ) )
24	21, 23	opeq12d 3708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
25	19, 24	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. = <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. )
26	25	eceq1d 6458	. . . . . . . 8 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )
27	26	eqeq2d 2149	. . . . . . 7 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
28	16, 27	anbi12d 464	. . . . . 6 |- ( <. w , v >. = <. A , B >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
29	13, 28	syl 14	. . . . 5 |- ( ( w = A /\ v = B ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
30	29	spc2egv 2770	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
31		opeq12 3702	. . . . . . 7 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. u , t >. = <. C , D >. )
32		eceq1 6457	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 )
33	32	eqeq2d 2149	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) )
34	33	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) ) )
35		vex 2684	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
36		vex 2684	. . . . . . . . . . . 12 |- t e. _V
37	35, 36	opth 4154	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. <-> ( u = C /\ t = D ) )
38		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = C -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
39	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( w .o u ) = ( w .o C ) )
40		oveq2 5775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = D -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
41	40	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( v .o t ) = ( v .o D ) )
42	39, 41	opeq12d 3708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
43	37, 42	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. = <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. )
44	43	eceq1d 6458	. . . . . . . . 9 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 )
45	44	eqeq2d 2149	. . . . . . . 8 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) )
46	34, 45	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( <. u , t >. = <. C , D >. -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
47	31, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( u = C /\ t = D ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) ) )
48	47	spc2egv 2770	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
49	48	2eximdv 1854	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> ( E. w E. v ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o C ) , ( v .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
50	30, 49	sylan9 406	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
51	11, 12, 50	mp2ani 428	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
52		ecexg 6426	. . . 4 |- ( ~Q0 e. _V -> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V )
53	2, 52	ax-mp 5	. . 3 |- [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V
54		eqeq1 2144	. . . . . . . 8 |- ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 -> ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
55		eqeq1 2144	. . . . . . . 8 |- ( y = [ <. C , D >. ] ~Q0 -> ( y = [ <. u , t >. ] ~Q0 <-> [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) )
56	54, 55	bi2anan9 595	. . . . . . 7 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) -> ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) <-> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) ) )
57		eqeq1 2144	. . . . . . 7 |- ( z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 -> ( z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 <-> [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
58	56, 57	bi2anan9 595	. . . . . 6 |- ( ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
59	58	3impa 1176	. . . . 5 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
60	59	4exbidv 1842	. . . 4 |- ( ( x = [ <. A , B >. ] ~Q0 /\ y = [ <. C , D >. ] ~Q0 /\ z = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) <-> E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) )
61		mulnq0mo 7249	. . . 4 |- ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> E* z E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) )
62		dfmq0qs 7230	. . . 4 |- ·Q0 = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ y e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ E. w E. v E. u E. t ( ( x = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ y = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) ) }
63	60, 61, 62	ovig 5885	. . 3 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 e. _V ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
64	53, 63	mp3an3 1304	. 2 |- ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> ( E. w E. v E. u E. t ( ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ [ <. C , D >. ] ~Q0 = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 = [ <. ( w .o u ) , ( v .o t ) >. ] ~Q0 ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 ) )
65	8, 51, 64	sylc 62	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. C , D >. ] ~Q0 ) = [ <. ( A .o C ) , ( B .o D ) >. ] ~Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   omcom 4499   X. cxp 4532  (class class class)co 5767   .o comu 6304   [cec 6420   /.cqs 6421   N.cnpi 7073   ~_Q0 ceq0 7087   ·_Q0 cmq0 7091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-mq0 7229

This theorem is referenced by:  mulclnq0  7253  nqnq0m  7256  nq0m0r  7257  distrnq0  7260  mulcomnq0  7261  nq02m  7266