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Theorem mulreap 10629
Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreap |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( B x. A ) e. RR ) )
Proof of Theorem mulreap
StepHypRef Expression
1 rereb 10628 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )
213ad2ant1 1002 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )
3 recl 10618 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
43recnd 7787 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
543ad2ant1 1002 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Re ` A ) e. CC )
6 simp1 981 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> A e. CC )
7 recn 7746 . . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
87anim1i 338 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
983adant1 999 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
10 mulcanap 8419 . . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ A e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` A ) = A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1216 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` A ) = A ) )
127adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> B e. CC )
134adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
14 ax-icn 7708 . . . . . . . . . . . 12 |- _i e. CC
15 imcl 10619 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
1615recnd 7787 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
17 mulcl 7740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1814, 16, 17sylancr 410 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1918adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2012, 13, 19adddid 7783 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
21 replim 10624 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2221adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2322oveq2d 5783 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) = ( B x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
24 mul12 7884 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1302 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
267, 16, 25syl2an 287 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2726oveq2d 5783 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2180 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) )
2928fveq2d 5418 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 7741 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR )
313, 30sylan2 284 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR )
32 remulcl 7741 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR )
3315, 32sylan2 284 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR )
34 crre 10622 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR /\ ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( B x. ( Re ` A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 408 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( B x. ( Re ` A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2171 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) = ( Re ` ( B x. A ) ) )
3736eqeq1d 2146 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
38 mulcl 7740 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) e. CC )
397, 38sylan 281 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) e. CC )
40 rereb 10628 . . . . . 6 |- ( ( B x. A ) e. CC -> ( ( B x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
4237, 41bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
4342ancoms 266 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
44433adant3 1001 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
452, 11, 443bitr2d 215 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( B x. A ) e. RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   RRcr 7612   0cc0 7613   _ici 7615   + caddc 7616   x. cmul 7618   # cap 8336   Recre 10605   Imcim 10606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-2 8772  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609
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