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Theorem nalset 3915
Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexnim 1555 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  ->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-sep 3903 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
3 elequ1 1616 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
4 elequ1 1616 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ1 1616 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6 elequ2 1617 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
75, 6bitrd 181 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
87notbid 602 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
94, 8anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
103, 9bibi12d 228 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1110spv 1756 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
12 pclem6 1281 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
142, 13eximii 1509 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
151, 14mpg 1356 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 101    <-> wb 102   A.wal 1257   E.wex 1397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-5 1352  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-sep 3903
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366
This theorem is referenced by:  vprc  3916
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