Theorem negcl 7427

Description: Closure law for negative. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Proof of Theorem negcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7401	. 2 |- -u A = ( 0 - A )
2		0cn 7225	. . 3 |- 0 e. CC
3		subcl 7426	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - A ) e. CC )
4	2, 3	mpan 415	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 - A ) e. CC )
5	1, 4	syl5eqel 2169	1 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095   - cmin 7398   -ucneg 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-setind 4308  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-sub 7400  df-neg 7401

This theorem is referenced by:  negicn  7428  negcon1  7479  negdi  7484  negdi2  7485  negsubdi2  7486  neg2sub  7487  negcli  7495  negcld  7525  mulneg2  7619  mul2neg  7621  mulsub  7624  divnegap  7913  divsubdirap  7915  divsubdivap  7935  eqneg  7939  div2negap  7942  divneg2ap  7943  zeo  8585  sqneg  9684  binom2sub  9736  shftval4  9917  shftcan1  9923  shftcan2  9924  crim  9946  resub  9958  imsub  9966  cjneg  9978  cjsub  9980  absneg  10137  abs2dif2  10194  subcn2  10351