Theorem negsubd 8079

Description: Relationship between subtraction and negative. Theorem I.3 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negsubd	|- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Proof of Theorem negsubd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		negsub 8010	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( A + -u B ) = ( A - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623   - cmin 7933   -ucneg 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936

This theorem is referenced by:  mulsub  8163  apsub1  8404  subap0d  8406  divsubdirap  8468  divsubdivap  8488  div2subap  8596  zaddcllemneg  9093  icoshftf1o  9774  fzosubel  9971  ceiqm1l  10084  modqcyc2  10133  qnegmod  10142  modqsub12d  10154  modsumfzodifsn  10169  expaddzaplem  10336  binom2sub  10405  seq3shft  10610  cjreb  10638  recj  10639  remullem  10643  imcj  10647  resqrexlemover  10782  resqrexlemcalc1  10786  resqrexlemcalc3  10788  bdtri  11011  subcn2  11080  fsumshftm  11214  fsumsub  11221  geosergap  11275  efmival  11440  cosadd  11444  sinsub  11447  sincossq  11455  cos12dec  11474  moddvds  11502  dvdsadd2b  11540  dvmptsubcn  12854  cosq34lt1  12931