ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nfsbxyt Unicode version

Theorem nfsbxyt 1835
Description: Closed form of nfsbxy 1834. (Contributed by Jim Kingdon, 9-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nfsbxyt  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
Distinct variable groups:    x, y    y,
z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsbxyt
StepHypRef Expression
1 ax-bndl 1415 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 nfs1v 1831 . . . . 5  |-  F/ z [ y  /  z ] ph
3 drsb1 1696 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( [ y  / 
z ] ph  <->  [ y  /  x ] ph )
)
43drnf2 1638 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( F/ z [ y  /  z ]
ph 
<->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
52, 4mpbii 140 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
65a1d 22 . . 3  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
7 a16nf 1762 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  y  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
87a1d 22 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
9 df-nf 1366 . . . . . 6  |-  ( F/ z  x  =  y  <->  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
109albii 1375 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  <->  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
11 sb5 1783 . . . . . . 7  |-  ( [ y  /  x ] ph 
<->  E. x ( x  =  y  /\  ph ) )
12 nfa1 1450 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x F/ z  x  =  y
13 nfa1 1450 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x F/ z ph
1412, 13nfan 1473 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )
15 sp 1417 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  F/ z  x  =  y )
1615adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z  x  =  y )
17 sp 1417 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z ph )
1817adantl 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z ph )
1916, 18nfand 1476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z ( x  =  y  /\  ph ) )
2014, 19nfexd 1660 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z E. x ( x  =  y  /\  ph )
)
2111, 20nfxfrd 1380 . . . . . 6  |-  ( ( A. x F/ z  x  =  y  /\  A. x F/ z ph )  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
2221ex 112 . . . . 5  |-  ( A. x F/ z  x  =  y  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
2310, 22sylbir 129 . . . 4  |-  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
248, 23jaoi 646 . . 3  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
256, 24jaoi 646 . 2  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. x A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) ) )  ->  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph ) )
261, 25ax-mp 7 1  |-  ( A. x F/ z ph  ->  F/ z [ y  /  x ] ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639   A.wal 1257   F/wnf 1365   E.wex 1397   [wsb 1661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662
This theorem is referenced by:  nfsbt  1866
  Copyright terms: Public domain W3C validator