Theorem nfunsn 5455

Description: If the restriction of a class to a singleton is not a function, its value is the empty set. (Contributed by NM, 8-Aug-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nfunsn	|- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Proof of Theorem nfunsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eumo 2031	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> E* y A F y )
2		vex 2689	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 4825	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` { A } ) y <-> ( x F y /\ x e. { A } ) )
4		velsn 3544	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { A } <-> x = A )
5		breq1 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( x F y <-> A F y ) )
6	4, 5	sylbi 120	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A } -> ( x F y <-> A F y ) )
7	6	biimpac 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. { A } ) -> A F y )
8	3, 7	sylbi 120	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` { A } ) y -> A F y )
9	8	moimi 2064	. . . . . . 7 |- ( E* y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> E* y x ( F |` { A } ) y )
11	10	alrimiv 1846	. . . . 5 |- ( E! y A F y -> A. x E* y x ( F |` { A } ) y )
12		relres 4847	. . . . 5 |- Rel ( F |` { A } )
13	11, 12	jctil 310	. . . 4 |- ( E! y A F y -> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
14		dffun6 5137	. . . 4 |- ( Fun ( F |` { A } ) <-> ( Rel ( F |` { A } ) /\ A. x E* y x ( F |` { A } ) y ) )
15	13, 14	sylibr 133	. . 3 |- ( E! y A F y -> Fun ( F |` { A } ) )
16	15	con3i 621	. 2 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> -. E! y A F y )
17		tz6.12-2 5412	. 2 |- ( -. E! y A F y -> ( F ` A ) = (/) )
18	16, 17	syl 14	1 |- ( -. Fun ( F |` { A } ) -> ( F ` A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   E!weu 1999   E*wmo 2000   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   |` cres 4541   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by: (None)