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Theorem nn01to3 9365
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 simp2 967 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  1  <_  N )
2 simp1 966 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  N  e.  NN0 )
3 1z 9038 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4 nn0z 9032 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
5 zleloe 9059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 1  <  N  \/  1  =  N )
) )
63, 4, 5sylancr 410 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 1  <  N  \/  1  =  N ) ) )
72, 6syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  <_  N  <->  ( 1  <  N  \/  1  =  N ) ) )
81, 7mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  <  N  \/  1  =  N )
)
9 1nn0 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
10 nn0ltp1le 9074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
119, 10mpan 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N ) )
12 df-2 8743 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1312breq1i 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  N  <->  ( 1  +  1 )  <_  N )
1411, 13syl6bbr 197 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <  N  <->  2  <_  N ) )
15 2z 9040 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
16 zleloe 9059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N )
) )
1715, 4, 16sylancr 410 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <_  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N ) ) )
1814, 17bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  <  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N ) ) )
1918orbi1d 765 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  <  N  \/  1  =  N )  <->  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N
)  \/  1  =  N ) ) )
202, 19syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
( 1  <  N  \/  1  =  N
)  <->  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N )  \/  1  =  N ) ) )
218, 20mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
( 2  <  N  \/  2  =  N
)  \/  1  =  N ) )
2221orcomd 703 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  \/  ( 2  <  N  \/  2  =  N
) ) )
23 orcom 702 . . . . 5  |-  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N )  <->  ( 2  =  N  \/  2  <  N ) )
2423orbi2i 736 . . . 4  |-  ( ( 1  =  N  \/  ( 2  <  N  \/  2  =  N
) )  <->  ( 1  =  N  \/  (
2  =  N  \/  2  <  N ) ) )
2522, 24sylib 121 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  \/  ( 2  =  N  \/  2  <  N
) ) )
26 3orass 950 . . 3  |-  ( ( 1  =  N  \/  2  =  N  \/  2  <  N )  <->  ( 1  =  N  \/  (
2  =  N  \/  2  <  N ) ) )
2725, 26sylibr 133 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  \/  2  =  N  \/  2  <  N ) )
28 3mix1 1135 . . . . 5  |-  ( N  =  1  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
2928eqcoms 2120 . . . 4  |-  ( 1  =  N  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
3029a1i 9 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
1  =  N  -> 
( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
31 3mix2 1136 . . . . 5  |-  ( N  =  2  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
3231eqcoms 2120 . . . 4  |-  ( 2  =  N  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
3332a1i 9 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  =  N  -> 
( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
34 simp3 968 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  N  <_  3 )
3534biantrurd 303 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
3  <_  N  <->  ( N  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
36 2nn0 8952 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
37 nn0ltp1le 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2  <  N  <->  ( 2  +  1 )  <_  N ) )
3836, 37mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <  N  <->  ( 2  +  1 )  <_  N ) )
39 df-3 8744 . . . . . . . 8  |-  3  =  ( 2  +  1 )
4039breq1i 3906 . . . . . . 7  |-  ( 3  <_  N  <->  ( 2  +  1 )  <_  N )
4138, 40syl6bbr 197 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2  <  N  <->  3  <_  N ) )
422, 41syl 14 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  <  N  <->  3  <_  N ) )
432nn0red 8989 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  N  e.  RR )
44 3re 8758 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
45 letri3 7813 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( N  =  3  <-> 
( N  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
4643, 44, 45sylancl 409 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  =  3  <->  ( N  <_  3  /\  3  <_  N ) ) )
4735, 42, 463bitr4d 219 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  <  N  <->  N  = 
3 ) )
48 3mix3 1137 . . . 4  |-  ( N  =  3  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
4947, 48syl6bi 162 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
2  <  N  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
5030, 33, 493jaod 1267 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  (
( 1  =  N  \/  2  =  N  \/  2  <  N
)  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
5127, 50mpd 13 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  <_  N  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  =  1  \/  N  =  2  \/  N  =  3 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    \/ w3o 946    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   2c2 8735   3c3 8736   NN0cn0 8935   ZZcz 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-n0 8936  df-z 9013
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