Theorem nn0ge0 8369

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8346	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8102	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8120	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7170	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 7254	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 415	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 61	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 8184	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 3791	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 166	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 669	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 119	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3787   RRcr 7031   0cc0 7032   < clt 7204   <_ cle 7205   NNcn 8095   NN0cn0 8344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-cnv 4373  df-iota 4891  df-fv 4934  df-ov 5540  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-inn 8096  df-n0 8345

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  8370  nn0ge0i  8371  nn0le0eq0  8372  nn0p1gt0  8373  0mnnnnn0  8376  nn0addge1  8390  nn0addge2  8391  nn0ge0d  8400  elnn0z  8434  nn0lt10b  8498  nn0ge0div  8504  nn0pnfge0  8931  0elfz  9198  fz0fzelfz0  9204  fz0fzdiffz0  9207  fzctr  9210  difelfzle  9211  elfzodifsumelfzo  9276  fvinim0ffz  9316  subfzo0  9317  adddivflid  9363  modqmuladdnn0  9439  modfzo0difsn  9466  bernneq  9679  bernneq3  9681  faclbnd  9754  faclbnd6  9757  facubnd  9758  ibcval5  9776  sizeneq0  9808  dvdseq  10382  evennn02n  10415  nn0ehalf  10436  nn0oddm1d2  10442  gcdn0gt0  10502  nn0gcdid0  10505  absmulgcd  10539  algcvgblem  10564  ialgcvga  10566  lcmgcdnn  10597