Theorem nn0ge0 9002

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8979	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		nnre 8727	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
3		nngt0 8745	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
4		0re 7766	. . . . 5 |- 0 e. RR
5		ltle 7851	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
6	4, 5	mpan 420	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> 0 <_ N ) )
7	2, 3, 6	sylc 62	. . 3 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
8		0le0 8809	. . . 4 |- 0 <_ 0
9		breq2 3933	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ 0 ) )
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 0 -> 0 <_ N )
11	7, 10	jaoi 705	. 2 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> 0 <_ N )
12	1, 11	sylbi 120	1 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7619   0cc0 7620   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   NN0cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  9003  nn0ge0i  9004  nn0le0eq0  9005  nn0p1gt0  9006  0mnnnnn0  9009  nn0addge1  9023  nn0addge2  9024  nn0ge0d  9033  elnn0z  9067  nn0lt10b  9131  nn0ge0div  9138  nn0pnfge0  9577  xnn0xadd0  9650  0elfz  9898  fz0fzelfz0  9904  fz0fzdiffz0  9907  fzctr  9910  difelfzle  9911  elfzodifsumelfzo  9978  fvinim0ffz  10018  subfzo0  10019  adddivflid  10065  modqmuladdnn0  10141  modfzo0difsn  10168  uzennn  10209  bernneq  10412  bernneq3  10414  faclbnd  10487  faclbnd6  10490  facubnd  10491  bcval5  10509  fihashneq0  10541  dvdseq  11546  evennn02n  11579  nn0ehalf  11600  nn0oddm1d2  11606  gcdn0gt0  11666  nn0gcdid0  11669  absmulgcd  11705  algcvgblem  11730  algcvga  11732  lcmgcdnn  11763  hashgcdlem  11903  znnen  11911