ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ind Unicode version

Theorem nn0ind 9133
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nn0ind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nn0ind.5  |-  ps
nn0ind.6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nn0ind  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 9035 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
2 0z 9033 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 nn0ind.1 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 nn0ind.2 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5 nn0ind.3 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
6 nn0ind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7 nn0ind.5 . . . . 5  |-  ps
87a1i 9 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ps )
9 elnn0z 9035 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
10 nn0ind.6 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
119, 10sylbir 134 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
12113adant1 984 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 9130 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
142, 13mp3an1 1287 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
151, 14sylbi 120 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    <_ cle 7769   NN0cn0 8945   ZZcz 9022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023
This theorem is referenced by:  zindd  9137  uzaddcl  9349  frecfzennn  10167  mulexp  10300  expadd  10303  expmul  10306  leexp1a  10316  bernneq  10380  faccl  10449  facdiv  10452  facwordi  10454  faclbnd  10455  faclbnd6  10458  facubnd  10459  bccl  10481  cjexp  10633  absexp  10819  binom  11221  bcxmas  11226  demoivreALT  11407  odd2np1lem  11496  alginv  11655  prmfac1  11757  ennnfonelemhf1o  11853  expcncf  12688
  Copyright terms: Public domain W3C validator