ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ind Unicode version

Theorem nn0ind 8542
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema) on nonnegative integers. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 13-May-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nn0ind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nn0ind.5  |-  ps
nn0ind.6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nn0ind  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 8445 . 2  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) )
2 0z 8443 . . 3  |-  0  e.  ZZ
3 nn0ind.1 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
4 nn0ind.2 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
5 nn0ind.3 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
6 nn0ind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7 nn0ind.5 . . . . 5  |-  ps
87a1i 9 . . . 4  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ps )
9 elnn0z 8445 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
10 nn0ind.6 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ch 
->  th ) )
119, 10sylbir 133 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
12113adant1 957 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  ->  ( ch  ->  th ) )
133, 4, 5, 6, 8, 12uzind 8539 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
142, 13mp3an1 1256 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ta )
151, 14sylbi 119 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    <_ cle 7216   NN0cn0 8355   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
This theorem is referenced by:  zindd  8546  uzaddcl  8755  frecfzennn  9508  mulexp  9612  expadd  9615  expmul  9618  leexp1a  9628  bernneq  9690  faccl  9759  facdiv  9762  facwordi  9764  faclbnd  9765  faclbnd6  9768  facubnd  9769  bccl  9791  cjexp  9918  absexp  10103  odd2np1lem  10416  ialginv  10573  prmfac1  10675
  Copyright terms: Public domain W3C validator