Theorem nn0ledivnn 9547

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8972	. . 3 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
2		nnge1 8736	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> 1 <_ B )
3	2	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 1 <_ B )
4		nnrp 9444	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
5		nnledivrp 9546	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
6	4, 5	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
7	3, 6	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
8	7	ex 114	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
9		nncn 8721	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
10		nnap0 8742	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B # 0 )
11	9, 10	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
13		div0ap 8455	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 0 / B ) = 0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) = 0 )
15		0le0 8802	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 3962	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) <_ 0 )
17		oveq1 5774	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( A / B ) = ( 0 / B ) )
18		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> A = 0 )
19	17, 18	breq12d 3937	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
20	19	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
21	16, 20	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
22	21	ex 114	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
23	8, 22	jaoi 705	. . 3 |- ( ( A e. NN \/ A = 0 ) -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
24	1, 23	sylbi 120	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
25	24	imp 123	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   1c1 7614   <_ cle 7794   # cap 8336   / cdiv 8425   NNcn 8713   NN0cn0 8970   RR+crp 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-rp 9435

This theorem is referenced by: (None)