ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn Unicode version

Theorem nn0ledivnn 8908
Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 8346 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
2 nnge1 8118 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
32adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
4 nnrp 8813 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
5 nnledivrp 8907 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
64, 5sylan2 280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
73, 6mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
87ex 113 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
9 nncn 8103 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
10 nnap0 8124 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B #  0 )
119, 10jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
1211adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
13 div0ap 7846 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
0  /  B )  =  0 )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  =  0 )
15 0le0 8184 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1614, 15syl6eqbr 3824 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  <_  0
)
17 oveq1 5544 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  /  B )  =  ( 0  /  B
) )
18 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  A  =  0 )
1917, 18breq12d 3800 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
( A  /  B
)  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_ 
0 ) )
2019adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <_  A 
<->  ( 0  /  B
)  <_  0 ) )
2116, 20mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B )  <_  A
)
2221ex 113 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
238, 22jaoi 669 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A
) )
241, 23sylbi 119 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
2524imp 122 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537   CCcc 7030   0cc0 7032   1c1 7033    <_ cle 7205   # cap 7737    / cdiv 7816   NNcn 8095   NN0cn0 8344   RR+crp 8804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-rp 8805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator