Theorem nn0nepnf 9048

Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nepnf	|- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Proof of Theorem nn0nepnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 7807	. . . . 5 |- +oo e/ RR
2	1	neli 2405	. . . 4 |- -. +oo e. RR
3		nn0re 8986	. . . 4 |- ( +oo e. NN0 -> +oo e. RR )
4	2, 3	mto 651	. . 3 |- -. +oo e. NN0
5		eleq1 2202	. . 3 |- ( A = +oo -> ( A e. NN0 <-> +oo e. NN0 ) )
6	4, 5	mtbiri 664	. 2 |- ( A = +oo -> -. A e. NN0 )
7	6	necon2ai 2362	1 |- ( A e. NN0 -> A =/= +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   RRcr 7619   +oocpnf 7797   NN0cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-rnegex 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-uni 3737  df-int 3772  df-pnf 7802  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  9050  fxnn0nninf  10211  0tonninf  10212  1tonninf  10213