ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0nlt0 Unicode version

Theorem nn0nlt0 8971
Description: A nonnegative integer is not less than zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
nn0nlt0  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  A  <  0 )

Proof of Theorem nn0nlt0
StepHypRef Expression
1 nn0ge0 8970 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
2 0re 7734 . . 3  |-  0  e.  RR
3 nn0re 8954 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
4 lenlt 7808 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
52, 3, 4sylancr 410 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( 0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
61, 5mpbid 146 1  |-  ( A  e.  NN0  ->  -.  A  <  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   RRcr 7587   0cc0 7588    < clt 7768    <_ cle 7769   NN0cn0 8945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-inn 8689  df-n0 8946
This theorem is referenced by:  expnegap0  10269  hashfiv01gt1  10496  bezoutlemmain  11613
  Copyright terms: Public domain W3C validator