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Theorem nn0seqcvgd 10567
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term  N reaches zero by the  N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
nn0seqcvgd.2  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
nn0seqcvgd.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Distinct variable groups:    k, F    k, N    ph, k

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =  ( F `
 0 ) )
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> NN0 )
3 0nn0 8370 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
4 ffvelrn 5332 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( F `  0
)  e.  NN0 )
52, 3, 4sylancl 404 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  NN0 )
61, 5eqeltrd 2156 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
76nn0red 8409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
87leidd 7682 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  <_  N )
9 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
0 ) )
10 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( N  -  m )  =  ( N  - 
0 ) )
119, 10breq12d 3806 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  0 )  <_ 
( N  -  0 ) ) )
1211imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) ) )
13 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
14 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  k ) )
1513, 14breq12d 3806 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k )
) )
1615imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) ) ) )
17 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
18 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
1917, 18breq12d 3806 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
21 fveq2 5209 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
22 oveq2 5551 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  ( N  -  m )  =  ( N  -  N ) )
2321, 22breq12d 3806 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
( F `  m
)  <_  ( N  -  m )  <->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
2423imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( ph  ->  ( F `
 m )  <_ 
( N  -  m
) )  <->  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) ) ) )
251, 8eqbrtrrd 3815 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  N )
267recnd 7209 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726subid1d 7475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
2825, 27breqtrrd 3819 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) )
2928a1i 9 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( F `  0
)  <_  ( N  -  0 ) ) )
30 nn0re 8364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
31 posdif 7626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3230, 7, 31syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k )
) )
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
34 breq1 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
3534adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  0  <  ( N  -  k ) ) )
36 peano2nn0 8395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
37 ffvelrn 5332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : NN0 --> NN0  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
382, 36, 37syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
3938nn0zd 8548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
406nn0zd 8548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
41 nn0z 8452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
42 zsubcl 8473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
4340, 41, 42syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
44 zltlem1 8489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  k
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  < 
( N  -  k
)  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
4539, 43, 44syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( N  -  k
)  -  1 ) ) )
46 nn0cn 8365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
47 ax-1cn 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
48 subsub4 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( N  -  k
)  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
4947, 48mp3an3 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5026, 46, 49syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( N  -  k )  -  1 )  =  ( N  -  (
k  +  1 ) ) )
5150breq2d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( N  -  k )  - 
1 )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5245, 51bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5352adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5433, 35, 533bitr2d 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( k  <  N  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
5554biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  /\  k  <  N )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5655an32s 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) )
5756a1d 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k ) ) )
5938nn0red 8409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
602ffvelrnda 5334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  NN0 )
6160nn0red 8409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6243zred 8550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( N  -  k )  e.  RR )
63 ltletr 7267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR  /\  ( N  -  k )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( F `  k )  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <  ( N  -  k )
) )
6459, 61, 62, 63syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( N  -  k ) ) )
6564, 52sylibd 147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  <  ( F `
 k )  /\  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6658, 65syland 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6766adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0  /\  ( F `  k
)  <_  ( N  -  k ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6867expdimp 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
6939adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
70 0zd 8444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  0  e.  ZZ )
71 zdceq 8504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  0 )
7269, 70, 71syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  -> DECID  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  0 )
73 dcne 2257 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  0  <->  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  0  \/  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
7472, 73sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  =  0  \/  ( F `  (
k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
7557, 68, 74mpjaodan 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  k  <  N )  ->  (
( F `  k
)  <_  ( N  -  k )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7675anasss 391 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN0  /\  k  < 
N ) )  -> 
( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) )
7776expcom 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ph  ->  ( ( F `  k )  <_  ( N  -  k )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7877a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <  N )  -> 
( ( ph  ->  ( F `  k )  <_  ( N  -  k ) )  -> 
( ph  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( N  -  (
k  +  1 ) ) ) ) )
79783adant1 957 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  NN0  /\  k  <  N )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 k )  <_ 
( N  -  k
) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( N  -  ( k  +  1 ) ) ) ) )
8012, 16, 20, 24, 29, 79fnn0ind 8544 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  N  <_  N )  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N )
) )
816, 6, 8, 80syl3anc 1170 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  N )  <_  ( N  -  N
) ) )
8281pm2.43i 48 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  ( N  -  N ) )
8326subidd 7474 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  -  N
)  =  0 )
8482, 83breqtrd 3817 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  <_  0 )
852, 6ffvelrnd 5335 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  NN0 )
8685nn0ge0d 8411 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( F `  N ) )
8785nn0red 8409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  RR )
88 0re 7181 . . 3  |-  0  e.  RR
89 letri3 7259 . . 3  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
9087, 88, 89sylancl 404 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  =  0  <-> 
( ( F `  N )  <_  0  /\  0  <_  ( F `
 N ) ) ) )
9184, 86, 90mpbir2and 886 1  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434    =/= wne 2246   class class class wbr 3793   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216    - cmin 7346   NN0cn0 8355   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
This theorem is referenced by:  ialgcvg  10574
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