Theorem nn0supp 9022

Description: Two ways to write the support of a function on NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0supp	|- ( F : I --> NN0 -> ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) = ( `' F " NN ) )

Proof of Theorem nn0supp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfn2 8983	. . . 4 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
2		invdif 3313	. . . 4 |- ( NN0 i^i ( _V \ { 0 } ) ) = ( NN0 \ { 0 } )
3	1, 2	eqtr4i 2161	. . 3 |- NN = ( NN0 i^i ( _V \ { 0 } ) )
4	3	imaeq2i 4874	. 2 |- ( `' F " NN ) = ( `' F " ( NN0 i^i ( _V \ { 0 } ) ) )
5		ffun 5270	. . . 4 |- ( F : I --> NN0 -> Fun F )
6		inpreima 5539	. . . 4 |- ( Fun F -> ( `' F " ( NN0 i^i ( _V \ { 0 } ) ) ) = ( ( `' F " NN0 ) i^i ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) ) )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( F : I --> NN0 -> ( `' F " ( NN0 i^i ( _V \ { 0 } ) ) ) = ( ( `' F " NN0 ) i^i ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) ) )
8		cnvimass 4897	. . . . 5 |- ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) C_ dom F
9		fdm 5273	. . . . . 6 |- ( F : I --> NN0 -> dom F = I )
10		fimacnv 5542	. . . . . 6 |- ( F : I --> NN0 -> ( `' F " NN0 ) = I )
11	9, 10	eqtr4d 2173	. . . . 5 |- ( F : I --> NN0 -> dom F = ( `' F " NN0 ) )
12	8, 11	sseqtrid 3142	. . . 4 |- ( F : I --> NN0 -> ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) C_ ( `' F " NN0 ) )
13		sseqin2 3290	. . . 4 |- ( ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) C_ ( `' F " NN0 ) <-> ( ( `' F " NN0 ) i^i ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) ) = ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) )
14	12, 13	sylib 121	. . 3 |- ( F : I --> NN0 -> ( ( `' F " NN0 ) i^i ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) ) = ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) )
15	7, 14	eqtrd 2170	. 2 |- ( F : I --> NN0 -> ( `' F " ( NN0 i^i ( _V \ { 0 } ) ) ) = ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) )
16	4, 15	syl5req 2183	1 |- ( F : I --> NN0 -> ( `' F " ( _V \ { 0 } ) ) = ( `' F " NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   _Vcvv 2681   \ cdif 3063   i^i cin 3065   C_ wss 3066   {csn 3522   `'ccnv 4533   dom cdm 4534   "cima 4537   Fun wfun 5112   -->wf 5114   0cc0 7613   NNcn 8713   NN0cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-inn 8714  df-n0 8971

This theorem is referenced by: (None)