Theorem nn0uz 9353

Description: Nonnegative integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0uz	|- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Proof of Theorem nn0uz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0zrab 9072	. 2 |- NN0 = { k e. ZZ | 0 <_ k }
2		0z 9058	. . 3 |- 0 e. ZZ
3		uzval 9321	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k } )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ZZ>= ` 0 ) = { k e. ZZ | 0 <_ k }
5	1, 4	eqtr4i 2161	1 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   {crab 2418   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   0cc0 7613   <_ cle 7794   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320

This theorem is referenced by:  elnn0uz  9356  2eluzge0  9363  eluznn0  9386  fseq1p1m1  9867  fz01or  9884  fznn0sub2  9898  nn0split  9906  fzossnn0  9945  frecfzennn  10192  frechashgf1o  10194  exple1  10342  bcval5  10502  bcpasc  10505  hashcl  10520  hashfzo0  10562  zfz1isolemsplit  10574  binom1dif  11249  isumnn0nn  11255  arisum2  11261  expcnvre  11265  explecnv  11267  geoserap  11269  geolim  11273  geolim2  11274  geoisum  11279  geoisumr  11280  mertenslemub  11296  mertenslemi1  11297  mertenslem2  11298  mertensabs  11299  efcllemp  11353  ef0lem  11355  efval  11356  eff  11358  efcvg  11361  efcvgfsum  11362  reefcl  11363  ege2le3  11366  efcj  11368  eftlcvg  11382  eftlub  11385  effsumlt  11387  ef4p  11389  efgt1p2  11390  efgt1p  11391  eflegeo  11397  eirraplem  11472  alginv  11717  algcvg  11718  algcvga  11721  algfx  11722  eucalgcvga  11728  eucalg  11729  phiprmpw  11887  ennnfonelemh  11906  ennnfonelemp1  11908  ennnfonelemom  11910  ennnfonelemkh  11914  ennnfonelemrn  11921  dveflem  12844