Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn1suc Unicode version

Theorem nn1suc 8125
 Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1
nn1suc.3
nn1suc.4
nn1suc.5
nn1suc.6
Assertion
Ref Expression
nn1suc
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5
2 1ex 7176 . . . . . 6
3 nn1suc.1 . . . . . 6
42, 3sbcie 2849 . . . . 5
51, 4mpbir 144 . . . 4
6 1nn 8117 . . . . . . 7
7 eleq1 2142 . . . . . . 7
86, 7mpbiri 166 . . . . . 6
9 nn1suc.4 . . . . . . 7
109sbcieg 2847 . . . . . 6
118, 10syl 14 . . . . 5
12 dfsbcq 2818 . . . . 5
1311, 12bitr3d 188 . . . 4
145, 13mpbiri 166 . . 3
1514a1i 9 . 2
16 elisset 2614 . . . 4
17 eleq1 2142 . . . . . 6
1817pm5.32ri 443 . . . . 5
19 nn1suc.6 . . . . . . 7
2019adantr 270 . . . . . 6
21 nnre 8113 . . . . . . . . 9
22 peano2re 7311 . . . . . . . . 9
23 nn1suc.3 . . . . . . . . . 10
2423sbcieg 2847 . . . . . . . . 9
2521, 22, 243syl 17 . . . . . . . 8
2625adantr 270 . . . . . . 7
27 oveq1 5550 . . . . . . . . 9
2827sbceq1d 2821 . . . . . . . 8
2928adantl 271 . . . . . . 7
3026, 29bitr3d 188 . . . . . 6
3120, 30mpbid 145 . . . . 5
3218, 31sylbir 133 . . . 4
3316, 32exlimddv 1820 . . 3
34 nncn 8114 . . . . . 6
35 ax-1cn 7131 . . . . . 6
36 npcan 7384 . . . . . 6
3734, 35, 36sylancl 404 . . . . 5
3837sbceq1d 2821 . . . 4
3938, 10bitrd 186 . . 3
4033, 39syl5ib 152 . 2
41 nn1m1nn 8124 . 2
4215, 40, 41mpjaod 671 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wb 103   wceq 1285   wcel 1434  wsbc 2816  (class class class)co 5543  cc 7041  cr 7042  c1 7044   caddc 7046   cmin 7346  cn 8106 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-sub 7348  df-inn 8107 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator