Theorem nnacl 6376

Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnacl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )

Proof of Theorem nnacl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A +o x ) = ( A +o B ) )
2	1	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 229	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A +o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A +o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
5	4	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) )
7	6	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o y ) e. om ) )
8		oveq2 5782	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) )
9	8	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) e. om <-> ( A +o suc y ) e. om ) )
10		nna0 6370	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
11	10	eleq1d 2208	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A +o (/) ) e. om <-> A e. om ) )
12	11	ibir 176	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) e. om )
13		peano2 4509	. . . . . 6 |- ( ( A +o y ) e. om -> suc ( A +o y ) e. om )
14		nnasuc 6372	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
15	14	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A +o suc y ) e. om <-> suc ( A +o y ) e. om ) )
16	13, 15	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o suc y ) e. om ) )
17	16	expcom 115	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A +o y ) e. om -> ( A +o suc y ) e. om ) ) )
18	5, 7, 9, 12, 17	finds2 4515	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A +o x ) e. om ) )
19	3, 18	vtoclga 2752	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A +o B ) e. om ) )
20	19	impcom 124	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   (/)c0 3363   suc csuc 4287   omcom 4504  (class class class)co 5774   +o coa 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317

This theorem is referenced by:  nnmcl  6377  nnacli  6378  nnaass  6381  nndi  6382  nndir  6386  nnaordi  6404  nnaord  6405  nnaword  6407  addclpi  7135  nnppipi  7151  archnqq  7225  addcmpblnq0  7251  addclnq0  7259  nnanq0  7266  distrnq0  7267  addassnq0lemcl  7269  prarloclemlt  7301  prarloclemlo  7302  prarloclem3  7305  omgadd  10548  hashunlem  10550  hashun  10551