Theorem nnaddcld 8761

Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	|- ( ph -> A e. NN )
nnmulcld.2	|- ( ph -> B e. NN )

Assertion

Ref	Expression
nnaddcld	|- ( ph -> ( A + B ) e. NN )

Proof of Theorem nnaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN )
2		nnmulcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN )
3		nnaddcl 8733	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( A + B ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   + caddc 7616   NNcn 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-addass 7715

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-inn 8714

This theorem is referenced by: (None)