ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnanq0 Unicode version

Theorem nnanq0 6710
Description: Addition of non-negative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nnanq0  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  =  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )
)

Proof of Theorem nnanq0
StepHypRef Expression
1 addnnnq0 6701 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  om  /\  A  e.  N. )  /\  ( M  e.  om  /\  A  e.  N. )
)  ->  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  )
213impdir 1226 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  )
3 pinn 6561 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
4 nnmcom 6133 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( N  .o  A
)  =  ( A  .o  N ) )
53, 4sylan2 280 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( N  .o  A
)  =  ( A  .o  N ) )
653adant2 958 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( N  .o  A )  =  ( A  .o  N
) )
76oveq1d 5558 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M
) ) )
8 nndi 6130 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  N  e.  om  /\  M  e.  om )  ->  ( A  .o  ( N  +o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M ) ) )
983coml 1146 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  ( N  +o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M ) ) )
103, 9syl3an3 1205 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( N  +o  M ) )  =  ( ( A  .o  N )  +o  ( A  .o  M ) ) )
117, 10eqtr4d 2117 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) )  =  ( A  .o  ( N  +o  M
) ) )
1211opeq1d 3584 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  <. (
( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >.  =  <. ( A  .o  ( N  +o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. )
1312eceq1d 6208 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( N  .o  A
)  +o  ( A  .o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( A  .o  ( N  +o  M ) ) ,  ( A  .o  A
) >. ] ~Q0  )
14 simp3 941 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
15 nnacl 6124 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om )  ->  ( N  +o  M
)  e.  om )
16153adant3 959 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  ( N  +o  M )  e. 
om )
17 mulcanenq0ec 6697 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( N  +o  M
)  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  ( N  +o  M
) ) ,  ( A  .o  A )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  )
1814, 16, 14, 17syl3anc 1170 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( A  .o  ( N  +o  M ) ) ,  ( A  .o  A ) >. ] ~Q0  =  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  )
192, 13, 183eqtrrd 2119 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  M  e.  om  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( N  +o  M ) ,  A >. ] ~Q0  =  ( [ <. N ,  A >. ] ~Q0 +Q0  [ <. M ,  A >. ] ~Q0  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3409   omcom 4339  (class class class)co 5543    +o coa 6062    .o comu 6063   [cec 6170   N.cnpi 6524   ~Q0 ceq0 6538   +Q0 cplq0 6541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-plq0 6679
This theorem is referenced by:  nq02m  6717  prarloclemcalc  6754
  Copyright terms: Public domain W3C validator