ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnawordex Unicode version

Theorem nnawordex 6132
Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnawordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnawordex
StepHypRef Expression
1 nntri3or 6103 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
213adant3 935 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )
)
3 nnaordex 6131 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B ) ) )
4 simpr 107 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  x  /\  ( A  +o  x
)  =  B )  ->  ( A  +o  x )  =  B )
54reximi 2433 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  om  ( (/) 
e.  x  /\  ( A  +o  x )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
63, 5syl6bi 156 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
763adant3 935 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  e.  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
8 nna0 6084 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
983ad2ant1 936 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
10 eqeq2 2065 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  +o  (/) )  =  A  <->  ( A  +o  (/) )  =  B ) )
119, 10syl5ibcom 148 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  =  B  ->  ( A  +o  (/) )  =  B ) )
12 peano1 4345 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
13 oveq2 5548 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
1413eqeq1d 2064 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  <->  ( A  +o  (/) )  =  B ) )
1514rspcev 2673 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  ( A  +o  (/) )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
1612, 15mpan 408 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  (/) )  =  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
1711, 16syl6 33 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( A  =  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
18 nntri1 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
1918biimp3a 1251 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  -.  B  e.  A )
2019pm2.21d 559 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  ( B  e.  A  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
217, 17, 203jaod 1210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  (
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
222, 21mpd 13 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  C_  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
23223expia 1117 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
24 nnaword1 6117 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
25 sseq2 2995 . . . . 5  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  A  C_  B
) )
2624, 25syl5ibcom 148 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
2726rexlimdva 2450 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B  ->  A  C_  B ) )
2827adantr 265 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
2923, 28impbid 124 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ w3o 895    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   E.wrex 2324    C_ wss 2945   (/)c0 3252   omcom 4341  (class class class)co 5540    +o coa 6029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036
This theorem is referenced by:  prarloclemn  6655
  Copyright terms: Public domain W3C validator