ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndi Unicode version

Theorem nndi 6150
Description: Distributive law for natural numbers (left-distributivity). Theorem 4K(3) of [Enderton] p. 81. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )

Proof of Theorem nndi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
21oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  C ) ) )
3 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  C
) )
43oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) )
52, 4eqeq12d 2097 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  C
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  C ) ) ) )
65imbi2d 228 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) ) ) )
7 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
87oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) ) )
9 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
109oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
118, 10eqeq12d 2097 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) ) )
12 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
1312oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  y ) ) )
14 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
1514oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) ) )
1613, 15eqeq12d 2097 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) )  <->  ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) ) ) )
17 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1817oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) ) )
19 oveq2 5571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
2019oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) )
2118, 20eqeq12d 2097 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  ( B  +o  x
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  x ) )  <-> 
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
22 nna0 6138 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2322adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2423oveq2d 5579 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( A  .o  B
) )
25 nnmcl 6145 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
26 nna0 6138 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .o  B )  e.  om  ->  (
( A  .o  B
)  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2725, 26syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  (/) )  =  ( A  .o  B
) )
2824, 27eqtr4d 2118 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
29 nnm0 6139 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
3029adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
3130oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (/) ) )
3228, 31eqtr4d 2118 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  (/) ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  (/) ) ) )
33 oveq1 5570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
) )
34 nnasuc 6140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
35343adant1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
3635oveq2d 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) ) )
37 nnacl 6144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
38 nnmsuc 6141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  +o  y
)  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
3937, 38sylan2 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
40393impb 1135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A ) )
4136, 40eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  +o  A
) )
42 nnmsuc 6141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
43423adant2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  A ) )
4443oveq2d 5579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
45 nnmcl 6145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
46 nnaass 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  om  /\  ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4725, 46syl3an1 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  +o  A
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
4845, 47syl3an2 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( ( A  .o  y )  +o  A ) ) )
49483exp 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e. 
om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  e.  om  ->  ( (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
5049exp4b 359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) ) )
5150pm2.43a 50 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5251com4r 85 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) ) )
5352pm2.43i 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) ) ) )
54533imp 1133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A )  =  ( ( A  .o  B )  +o  (
( A  .o  y
)  +o  A ) ) )
5544, 54eqtr4d 2118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) )  =  ( ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) )
5641, 55eqeq12d 2097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) )  <->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y ) )  +o  A ) ) )
5733, 56syl5ibr 154 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) )
58573exp 1138 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( y  e.  om  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
5958com3r 78 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  y
) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) ) )
6059impd 251 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  .o  ( B  +o  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  y ) )  ->  ( A  .o  ( B  +o  suc  y
) )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  ( A  .o  suc  y ) ) ) ) )
6111, 16, 21, 32, 60finds2 4370 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  x ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  x
) ) ) )
626, 61vtoclga 2673 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) )
6362expdcom 1372 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C
) ) ) ) )
64633imp 1133 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  .o  ( B  +o  C ) )  =  ( ( A  .o  B )  +o  ( A  .o  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   (/)c0 3267   suc csuc 4148   omcom 4359  (class class class)co 5563    +o coa 6082    .o comu 6083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089  df-omul 6090
This theorem is referenced by:  nnmass  6151  nndir  6154  distrpig  6637  addcmpblnq0  6747  nnanq0  6762  distrnq0  6763  addassnq0  6766
  Copyright terms: Public domain W3C validator