ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndir Unicode version

Theorem nndir 6154
Description: Distributive law for natural numbers (right-distributivity). (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nndir  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  +o  ( B  .o  C
) ) )

Proof of Theorem nndir
StepHypRef Expression
1 nndi 6150 . . 3  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( C  .o  A )  +o  ( C  .o  B ) ) )
213coml 1146 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( C  .o  A )  +o  ( C  .o  B ) ) )
3 nnacl 6144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
4 nnmcom 6153 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( A  +o  B
)  e.  om )  ->  ( C  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( A  +o  B )  .o  C ) )
53, 4sylan2 280 . . . 4  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( C  .o  ( A  +o  B
) )  =  ( ( A  +o  B
)  .o  C ) )
65ancoms 264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  ( A  +o  B
) )  =  ( ( A  +o  B
)  .o  C ) )
763impa 1134 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( A  +o  B )  .o  C
) )
8 nnmcom 6153 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  =  ( A  .o  C ) )
98ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  =  ( A  .o  C ) )
1093adant2 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  A )  =  ( A  .o  C
) )
11 nnmcom 6153 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  =  ( B  .o  C ) )
1211ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  =  ( B  .o  C ) )
13123adant1 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  .o  B )  =  ( B  .o  C
) )
1410, 13oveq12d 5581 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  +o  ( C  .o  B ) )  =  ( ( A  .o  C )  +o  ( B  .o  C
) ) )
152, 7, 143eqtr3d 2123 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  +o  B
)  .o  C )  =  ( ( A  .o  C )  +o  ( B  .o  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   omcom 4359  (class class class)co 5563    +o coa 6082    .o comu 6083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-oadd 6089  df-omul 6090
This theorem is referenced by:  addassnq0  6766
  Copyright terms: Public domain W3C validator